C++：堆排序

目錄

什麼是堆排序：

堆排序步驟：

步驟一 、構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆

步驟二 、將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。

最後結果：

再簡單總結下堆排序的基本思路：

代碼： 

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　堆排序是利用堆這種數據結構而設計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間複雜度均爲O(nlogn)，它也是不穩定排序。首先簡單瞭解下堆結構。

什麼是堆排序：

堆是具有以下性質的完全二叉樹：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，稱爲大頂堆；或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值，稱爲小頂堆。

如下圖：

同時，我們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

瞭解了上面兩點，看看堆排序具體這麼做的。

堆排序步驟：

堆排序的基本思想是：將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就爲最大值。然後將剩餘n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值。如此反覆執行，便能得到一個有序序列了。

步驟一 、構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆

（一般升序採用大頂堆，降序採用小頂堆)。

1.假設給定無序序列結構如下

2.此時我們從最後一個非葉子結點開始（葉結點自然不用調整，第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6結點），從左至右，從下至上進行調整。

3.找到第二個非葉節點4，由於[4,9,8]中9元素最大，4和9交換

4.時，交換導致了子根[4,5,6]結構混亂，繼續調整，[4,5,6]中6最大，交換4和6。

此時，我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。

步驟二 、將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。

然後繼續調整堆，再將堆頂元素與末尾元素交換，得到第二大元素。如此反覆進行交換、重建、交換。

 

最後結果：

再簡單總結下堆排序的基本思路：

　　a.將無需序列構建成一個堆，根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;

　　b.將堆頂元素與末尾元素交換，將最大元素"沉"到數組末端;

　　c.重新調整結構，使其滿足堆定義，然後繼續交換堆頂元素與當前末尾元素，反覆執行調整+交換步驟，直到整個序列有序。

代碼： 

#define left(x) 2*x+1;//獲得左節點在數組中的下標
#define right(x) 2 * (x + 1);//獲得右節點在數組中的下標

//假定對某一個節點i其左，右子樹都是都是最大堆，但是對於節點i和它的左右子節點則可能破壞最大堆的性質，我們來寫一個函數對這
//情況下的堆來進行維護使整體的堆滿足最大堆性質
void MaxHeapify(int* a, int i, int low, int high)//輸入爲要被排序的數組和根節點，數組a當中被維護的那一部分的下標low，high
{
	int l = left(i);//計算下標爲i的節點的左子節點
	int r = right(i);//計算下標爲i的節點的右子節點
	int largest;//保存i,l,r(即i和它的左右子節點)之間的最大數的下標
	int temp;//交互數組中的數所使用的臨時變量
			 //找到三個數當中最大的那個數，將最大的那個數和i進行互換
	if (l <= high && a[l] > a[i])
	{
		largest = l;
	}
	else {
		largest = i;
	}

	if (r <= high && a[r] > a[largest])
	{
		largest = r;
	}
	if (largest != i)
	{
		temp = a[i];
		a[i] = a[largest];
		a[largest] = temp;
		MaxHeapify(a, largest, low, high);//交換有可能破壞子樹的最大堆性質，所以對所交換的那個子節點進行一次維護，而未交換的那個子節點，根據我們的假設，是保持着最大堆性質的。
	}
}


//將數組建立爲一個最大堆
//調整數組當中數的位置將其處理爲一個最大堆
void BuildMaxHeap(int* a, int length)
{
	for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; i--)
	{
		MaxHeapify(a, i, 0, length - 1);
	}
}

//堆排序函數
void HeapSort(int a[], int length)
{
	int temp;
	BuildMaxHeap(a, length);
	for (int i = length - 1; i >= 1; i--)
	{
		//交換根節點和數組的最後一個節點
		temp = a[i];
		a[i] = a[0];
		a[0] = temp;
		MaxHeapify(a, 0, 0, i - 1);//維護從下標爲i-1到0的子數組
	}
}

int main() {
	int a[] = { 4,6,8,5,9 };
	HeapSort(a, 5);
	return 0;
}