OpenCup 2015: Chemistry【構造（完全不可能想得到）題】

題目描述：

vjudge題目鏈接
給出n個杯子，每個杯子有一（納）升的水，每次從一個杯子向另一個杯子倒水，使得後一個杯子的水變成原來的兩倍，求出一種操作方案，使得最終第一個杯子有m升水，或無解。

題目分析：

構造神題。
這裏的最下面是某位GrandMaster的題解：

驚爲天人。
然而考場還是有巨佬憑藉超強的找規律+揣測結論切了這道題。
我就概括一下上面的段意：

• $k=2^x$，此時一定有解，且很容易構造。
• $k=2x-1$，要構造出這樣的$k$，需要$n\ge2x+1$。
  考慮最後一步，$(a,b)\rarr(a-b,2b)$，$2b$不可能是$2x-1$，所以$a-b=2x-1$，所以$a\ge2x,b\ge1,n\ge a+b=2x+1$
• $k=2x$，要構造出這樣的$k$，同樣需要$n\ge2x+1$。
  因爲$k$不是2的冪，所以可以找到一個奇質數$p$使得$p|k$，然而一開始所有數都是1，不能被p整除，在$(a,b)\rarr(a-b,2b)$的過程中，如果$a,b$中有一個不能被p整除，那麼$a-b,2b$中必然也有一個不能被p整除，所以如果$n=2x$，最終所有數都能被p整除，這是無法做到的，故$n\ge2x+1$。
• 接下來證明當$n=2x+1$時，一定可以構造出$k=2x或2x-1$。
  假設這時這樣一個命題成立（證明在下一段）：$n$可以被分成兩份：$n=2^t+(n-2^t)$。
  此時$a+b=n$，那麼就有$(a-b,2b)=(2a\%n,2b\%n)$，因此在p步之後$(a,b)$就會變成$(2^p*a\%n,2^p*b\%n)$
  由於兩個數中有一個是2的冪，由歐拉定理（$a^{\varphi(p)}\equiv1 ~(mod~p)$）知這個過程一定會出現$a,b$中的一個數變成1，再下一步變成2，此時另一個數就是$n-1,n-2$,即我們要求的$k$
• 接下來證明上面的命題成立：
  想象一下把$n$拆成2進制，譬如 n = 16 + 4 + 1。 此時從末尾往前合併，差的值用第一個杯子來補
  譬如第一步就變成 n = 15 + 4 + 2, 然後是 n = 13 + 4 + 4，然後是 n = 13 + 8，然後是 n = 5 + 16
  這樣就可以將除了第一個杯子的剩下的數合併成2的冪。差的值是一定能夠補足的，因爲第一個杯子裏的水大於後面所有的和。

於是這道題就做完了。
最好想好實現再開始寫代碼，不然會很噁心。。打了1h+的我qwq。。。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,k,m,len[maxn];
vector<pair<int,int> >ans;
vector<int>t;
void solve(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid),solve(mid+1,r);
	ans.push_back(make_pair(mid+1,l));
}
int main()
{
 	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k==(k&-k)){
		for(int i=2;i<=k;i<<=1) m+=k/i;
		printf("%d\n",m);
		for(int i=2;i<=k;i<<=1)
			for(int j=1;j<k;j+=i)
				printf("%d %d\n",j+i/2,j);
		return 0;
	}
	if(k&1){
		if(n<=k+1) return puts("-1"),0;
		n=k+2;
	}
	else{
		if(n==k) return puts("-1"),0;
		n=k+1;
	}
	for(int i=0;(1<<i)<=n;i++) if(n&1<<i) t.push_back(1<<i);
	reverse(t.begin(),t.end());
	for(int i=1,j=0;i<=n;i+=t[j++]) solve(i,i+t[j]-1),len[i]=t[j];
	for(int o=t.size()-2,now=n+1-t[o+1],pre=now-t[o]; ;now=pre,pre=now-t[--o]){
		while(len[pre]>len[now]){
			ans.push_back(make_pair(1,now));
			len[1]-=len[now],len[now]<<=1;
			if(len[1]==k) goto hehe;
		}
		if(pre==1) break;
		ans.push_back(make_pair(now,pre));
		len[pre]+=len[now];
	}
hehe:
	int &x=len[1],&y=len[1+t[0]];
	while(x!=k){
		if(x<y) ans.push_back(make_pair(1+t[0],1));
		else ans.push_back(make_pair(1,1+t[0]));
		x=(x<<1)%n,y=(y<<1)%n;
	}
	printf("%d\n",ans.size());
	for(auto i: ans) printf("%d %d\n",i.first,i.second);
}