這篇文章是2.0版本，修正了前一版中的錯誤，感謝廣大網友指正！
前面介紹了圖的最小生成樹的Prim算法，這個算法是從頂點的角度來刻畫生成樹的。今天要說的Kruskal(克魯斯卡爾)算法，是從邊的角度來進行刻畫的。
Kruskal算法用到的數據結構有：
1、邊頂點與權值存儲結構(即圖是由連接某一條邊的兩個頂點，以及這條邊的權值來進行存儲，具體看後面的例子)
2、並查集(具體是什麼以及作用在後面的例子中解釋)
Kruskal算法步驟 -- 我們今天要實現的目標依然與前面Prim算法的相同，計算最小生成樹的權值之和
1、前期準備(數據結構)
在無向圖右邊的便是圖的存儲結構，可以看出這個存儲結構不同於我們所熟知的鄰接矩陣和鄰接表，這個存儲結構的每一項，以邊爲單位，存儲着連接這條邊的兩個頂點，以及這條邊的權值。比如第一項，頂點0與頂點1鄰接，這條邊的權值爲1，所以左邊填入(0,1)，右邊爲1。這個頂點誰先誰後都可以。存儲結構以邊爲基準，有幾條邊就有幾項。
在存儲結構的右邊就是上面提到的並查集了，並查集就是一個用雙親表示法所表示的森林，我們可以利用這個結構來查找某一個頂點的雙親，進而找到根結點。這樣，我們就能判斷某兩個頂點是否同源，在圖中的表現就是加上這條邊後會不會形成環。如果形成環，就不是簡單圖，就不屬於考研(好吧，LL在準備考研，怕忘了，就記錄下來)數據結構的研究範圍了。並查集以頂點爲基準，有幾個頂點，就有幾項。
PS.這裏適用與頂點編號連續的情況，這樣在並查集中，數組的下標就對應頂點的編號，數組的值就是這個頂點所在的雙親。這就是樹的雙親表示法。高效率地利用數組下標。
2、算法步驟
a、對圖的存儲結構，按照權值，從小到大排序。（上圖是已經排序好的）
b、對並查集進行初始化，即把每一個位置中的值初始化爲其對應下標。(上圖是已經初始化好的)
c、選取存儲結構的第一項(最小項)，查詢該邊所對應的頂點在並查集中是否同源，同源則進行e，不同源則進行d
d、若不同源，則把該邊加入生成樹，並計算和；修改前者的根在並查集中位置的值爲後者的根。如下圖：第一項(0,1)不同源，頂點0的根爲0，頂點1的根爲1，設a爲並查集數組，把a[0] = 1，即把並查集中下標爲0的位置中的值修改爲1。這樣，(0,1)這條路徑就加入了最小生成樹。
e、若同源，則跳過，繼續遍歷存儲結構，如下圖
Now指針指的是現在所處理的項，頂點0的根爲4(因爲第0個結點的雙親是結點1，結點1的雙親是結點4，結點4的雙親是它自己，說明結點4就是結點0的根結點)，頂點2的根也爲4，則跳過該項，繼續遍歷。
f、重複d~e，直到存儲結構中所有的項被遍歷。
現在就到代碼階段了。
我們要準備以下函數：
1、排序函數sort，任何一種排序算法都行，下面的示例代碼中，我採用的是冒泡排序算法
2、尋源函數getRoot，尋找某一個點在並查集中的根，注意，是根，不是雙親！，所以，判斷的條件爲如果某一個下標的值就是其本身，設a爲並查集數組，v爲數組值，如果a[v] = v，它就是根，否則就讓v = a[v]，向上尋找，直到其相等。
下面上代碼
1、圖的存儲結構(a，b爲邊的兩個頂點，w爲邊的權值)
#define Max 50
typedef struct road *Road;
typedef struct road
{
int a , b;
int w;
}road;
typedef struct graph *Graph;
typedef struct graph
{
int e , n;
Road data;
}graph;
2、排序sort函數（按照權值從小到大）
void sort(Road data, int n)
{
int i , j;
for(i = 1 ; i <= n-1 ; i++)
{
for(j = 1 ; j <= n-i ; j++)
{
if(data[j].w > data[j+1].w)
{
road t = data[j];
data[j] = data[j+1];
data[j+1] = t;
}
}
}
}
3、getRoot尋源函數（v爲並查集，x爲待查頂點）
int getRoot(int v[], int x)
{
while(v[x] != x)
{
x = v[x];
}
return x;
}
4、完整代碼（我這裏頂點採用了先小後大的排序）
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define Max 50
typedef struct road *Road;
typedef struct road
{
int a , b;
int w;
}road;
typedef struct graph *Graph;
typedef struct graph
{
int e , n;
Road data;
}graph;
Graph initGraph(int m , int n)
{
Graph g = (Graph)malloc(sizeof(graph));
g->n = m;
g->e = n;
g->data = (Road)malloc(sizeof(road) * (g->e));
return g;
}
void create(Graph g)
{
int i;
for(i = 1 ; i <= g->e ; i++)
{
int x , y, w;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
if(x < y)
{
g->data[i].a = x;
g->data[i].b = y;
}
else
{
g->data[i].a = y;
g->data[i].b = x;
}
g->data[i].w = w;
}
}
int getRoot(int v[], int x)
{
while(v[x] != x)
{
x = v[x];
}
return x;
}
void sort(Road data, int n)
{
int i , j;
for(i = 1 ; i <= n-1 ; i++)
{
for(j = 1 ; j <= n-i ; j++)
{
if(data[j].w > data[j+1].w)
{
road t = data[j];
data[j] = data[j+1];
data[j+1] = t;
}
}
}
}
int Kruskal(Graph g)
{
int sum = 0;
//並查集
int v[Max];
int i;
//init
for(i = 1 ; i <= g->n ; i++)
{
v[i] = i;
}
sort(g->data , g->e);
//main
for(i = 1 ; i <= g->e ; i++)
{
int a , b;
a = getRoot(v,g->data[i].a);
b = getRoot(v,g->data[i].b);
if(a != b)
{
v[a] = b;
sum += g->data[i].w;
}
}
return sum;
}
int main()
{
int m , n , id = 1;
while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
{
int r , i;
Graph g = initGraph(m,n);
create(g);
r = Kruskal(g);
printf("Case %d:%d\n",id++,r);
free(g);
}
return 0;
}
輸入數據：
第一行兩個整數表示圖的頂點和邊的個數
然後接下來的若干行，第一個數表示起點，第二個數表示終點，第三個數表示權值
6 10
1 2 16
1 6 21
1 5 19
2 3 5
2 4 6
2 6 11
3 4 6
6 4 14
5 4 18
5 6 33
2 1
1 2 9
運行結果：
