《西瓜書》第六章 公式6.6 凸二次規劃問題

1. 凸優化問題

對於一般的非線性規劃，若目標函數是凸函數，約束集合 $D$ 是凸集，則稱該非線性規劃是凸規劃。
若上述約束規劃中只含有不等式約束，又 $c_i(x)(i∈I)$是凸函數，則約束集 $D$ 是凸集。
對於混合約束問題，若 $c_i(x)(i∈E)$是線性函數，$c_i(x)(i∈I)$ 是凸函數，則 $D$ 是凸集。

定理 4： 凸規劃的局部解必是全局解。
定理 5： 設目標函數 $f(x)$ 和約束函數 $c_i(x)$一階連續可微，並且 $c_i(x)(i∈E)$ 是線性函數， $c_i(x)(i∈I)$ 是凸函數。若凸規劃的可行點 $x^*$ 是K-T點，則 $x^*$ 必是全局解。

2. 凸二次規劃問題

一般的約束規劃問題求解非常困難，從下面開始我們將僅討論凸二次規劃問題的求解方法。考慮如下約束優化問題：

其中 $G$ 爲 $n×n$ 對稱矩陣，$r,α_i(i∈E∪I)$ 爲 $n$維實向量， $b_i(i∈E∪I)$ 爲實數，稱上述問題爲二次規劃（quadratic programming）問題。
如果$G$ 爲（正定）半正定矩陣，則稱上述問題爲（嚴格）凸二次規劃（convex quadratic programming）。（嚴格）凸二次規劃問題的局部解均是全局最優解。

定理 6： $x^*$ 是上述凸二次規劃問題的全局最優解得充分必要條件是： $x^*$是K-T點，即存在 $λ^∗=(λ^∗_1,λ^∗_2,…,λ^∗_{l+m})$ 使得：

定理 7： 若 $x^*$ 是上述凸二次規劃的全局最優解，則 $x^*$是如下等式約束二次規劃問題的全局最優解。

參考資料：約束規劃問題與凸二次規劃