深入淺出浮點數

1.浮點數描述

 

浮點數，通俗的講就是顯示格式具有小數點的數，如1.234、1234.0（十進制形式）。計算機中浮點數會按照某一處理標準存儲在單元中（如IEEE 754標準），其複雜度遠大於其它類型的數據。

 

通常對於要麼很大或很小的浮點數，難以用十進制形式方便地編寫，則使用科學記數法來表示：即由一個有效數字（尾數mantissa）和冪數（exponent）組合而成，通常是乘以基數爲10的整數次指數得到。

 

 

其中尾數應滿足1≤|mantissa|≤10（通過調整10的指數大小使得mantissa的絕對值至少爲1但小於10）。如STEP 7-MicroWIN SMART中浮點數0.00001234顯示爲1.234E-05：

 

 

如一個電子的質量大約是0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kg。如果用一般的方法，將所有位數都寫出來，很難直接確知它的大小，還會浪費很多空間。但使用科學記數法，寫爲9.109 383 56 × 10-31  kg，相對要簡單得多，數的數量級、精確度和數值都一目瞭然。

 

有效數字:指科學計算中用以表示一個浮點數精度的那些數字。一般地，指一個用小數形式表示的浮點數中，從第一個非零的數字算起的所有數字。如1.24和0.00124的有效數字都有3位。包含小數點的數中，結尾的零是有效的。例如 12.2300 有六位有效數字（1、2、2、3、0、0）。

 

2.IEEE二進制浮點數算術標準（IEEE 754）

 

該標準定義了五種基本格式，有三種二進制浮點基本格式（用32,64或128位編碼）和兩種十進制浮點基本格式（用64或128位編碼）。如PLC中常使用的單精度二進制浮點格式：binary32，雙精度二進制浮點格式：binary64。

 

一個浮點數 (Value) 可以這樣表示：

 

 

也就是浮點數的實際值，等於符號位（sign bit）乘以指數偏移值(exponent bias)再乘以有效數(significand)。

 

 

二進制浮點數是以符號數值表示法的格式存儲：最高有效位被指定爲符號位（sign bit）；“指數部分”即次高有效的e個比特存儲指數部分；最後剩下的f個低有效位的比特，存儲“有效數”（significand）的小數部分（fraction）。

 

單精度浮點格式

 

在IEEE 754中定義單精度浮點數格式是一種：在計算機存儲器中佔用4個字節（32 bits），利用“浮點”（浮動小數點）的方法，表示一個範圍很大的數值，稱爲binary32格式。

 

0.15625二進制存儲值

 

標準規定binary32具有：

• 符號位：1位（0代表正，1代表負）

• 指數存儲寬度：8位

• 有效數存儲寬度：23位（真有效數包括二進制點右側的23個分數位（及真有效數的小數部分）和值爲1的隱式前導位（位於二進制點的左側，及真有效數的整數部分）。因此，只有23 個小數位的有效位被存儲，但總精度是24位）

 

 

單精度浮點數的指數域是8位，存儲值爲0～255。標準規定固定偏移值是28-1-1=128-1=127，則單精度浮點數的指數部分實際取值是從0-127=-127到255-127=128（-127和128被用作特殊值處理，包括“非規約形式的浮點數”和“特殊值”）。

採用指數的實際值加上固定的偏移值的辦法（指數偏移）表示浮點數的指數，好處是可以用長度爲e個比特的無符號整數來表示所有的指數取值，這使得兩個浮點數的指數大小的比較更爲容易，因爲非負數的比較完全可以從最高有效位遍歷比較。

 

以上面的0.15625二進制存儲值爲例轉爲浮點數(Value)：

 

 

規約形式的浮點數

 

 

如果浮點數中指數部分的編碼值在0<exponent≤2e-2之間（單精度浮點數e=8），那麼這個浮點數稱爲規約形式的浮點數（Normalized finite numbers）。

 

最小正規約浮點數：

0 00000001 000000000000000000000002 = 0080 000016 = 2 -126≈1.1754943508×10 -38 

最大正規約浮點數：

0 11111110 111111111111111111111112 = 7f7f ffff16 = 2 127 ×（2 - 2 -23）≈3.4028234664×10 38

 

非規約形式的浮點數

 

如果浮點數的指數部分的編碼值是0（因爲非規格數的指數是固定的exponent = 2-126，於是也就不用存儲指數，因此編碼值全爲0，這也方便和規約形式的浮點數分開），分數部分非零，那麼這個浮點數將被稱爲非規約形式的浮點數（Denormalized finite numbers）。

 

 

一般是某個數字非常接近零時纔會使用非規約型式來表示。其絕對值已經小於所有的規約浮點數的絕對值，即所有的非規約浮點數比規約浮點數更接近0，即上圖GAP範圍內的數。對於規約浮點數，其有效數（significand=1+fraction）大於等於1且小於2（因爲隱式前導位爲1），而非規約浮點數的有效數（significand=fraction）小於1且大於0（因爲隱式前導位爲0）。

 

如STEP 7-MicroWIN SMART，從手冊中給出的數值範圍可知，S7-200 SMART PLC無法處理非規約形式的浮點數

 

 

值2#0000_0000_0011_0000_0000_0000_0000_0000，對應非規約形式的浮點數爲4.408104E-039，其顯示爲NAN（作爲溢出處理）。

 

 

對於WINCC，可以處理非規約形式的浮點數，這一點要了解。

 

 

 

特殊值

除了規約和非規約數，還包括一些特殊值：

• 如果指數 = 0並且尾數的小數部分是0，這個數爲±0（和符號位相關）

• 如果指數 = 2e-1並且尾數的小數部分是0，這個數是±∞（同樣和符號位相關），如STEP 7-MicroWIN SMART中顯示爲±INF。

• 如果指數 = 2e-1並且尾數的小數部分非0，這個數表示爲一個非法數（NaN）。

 

精度

任何數據的存儲長度是有限的，單精和雙精浮點數的有效數字分別是有存儲的23和52個位，加上最左邊沒有存儲的1個隱式前導位，即是24和53個位。

 

由以上計算得出，單精和雙精浮點數可以保證7位和15位十進制有效數字。對於超出可表示精度的將舍入。

舍入

任何有效數上的運算結果，通常都存放在較長的寄存器中，當結果被放回浮點格式時，必須將多出來的比特丟棄。 有多種方法可以用來運行舍入作業，實際上IEEE標準列出4種不同的方法：

• 舍入到最接近：舍入到最接近，在一樣接近的情況下偶數優先（Ties To Even，這是默認的舍入方式）：會將結果舍入爲最接近且可以表示的值，但是當存在兩個數一樣接近的時候，則取其中的偶數（在二進制中是以0結尾的）。

• 朝+∞方向舍入：會將結果朝正無限大的方向舍入。

• 朝-∞方向舍入：會將結果朝負無限大的方向舍入。

• 朝0方向舍入：會將結果朝0的方向舍入。

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