自然常數e與重要極限

無理數$e$，又稱自然常數，是一個人爲定義的數，約等於2.71828，我們在很多地方都能看到它的身影，如歐拉方程、自然對數中等等。

定義

$e$的定義式爲：$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$該式是兩個重要極限中的其中一個，要理解該定義式的由來，就不得不先介紹一下指數增長模型

指數增長模型

指數增長模型可以用單細胞生物的二分裂來做形象的解釋：已知細胞在1個增長週期內分裂一次，則分裂後的細胞總數爲分裂前的兩倍：$N_{分裂後}=2*N_{分裂前}$若在初始細胞數量爲1的情況下，經過$x$個分裂週期，則細胞總數(設爲$Q$)將會達到$2_1*2_2*...*2_x=2^x$個，表達爲：$Q=2^x$已知細胞初始數量爲1，且每個週期的增長率爲$100\%$，因此上式亦可寫做：$Q=(1+100\%)^x$這便是單細胞生物二分裂的指數增長模型

當該式應用在描述更廣泛的事物的增長規律時，其增長率通常不會是$100\%$，因此我們用一個未知數$r$來代替增長率，這樣就得到了更一般的指數增長模型：$Q=(1+r)^x$其含義是：某個事物在一個週期內的增長率爲$r$，在增長$x$個週期之後，其總數量是原始數量的$Q$倍

定義式的由來

爲了更加生動的解釋爲什麼定義式$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x$等於$e$，這裏引入經濟學中的複利率概念：

• 複利率：是指利息除了會根據本金計算得到外，新得到的利息同樣可以生息的一種利息計算方式。

假設有一銀行採用複利率的方式來計算利息，你希望在該銀行存1元錢本金1年，銀行的年利率(增長率)爲100%。這樣假設的目的是爲了得到更一般的公式，其他情況皆可由一般公式變換得到其特殊公式。

若你沒有注意到該銀行採用複利率來計算利息，則你很可能會直接存夠一年，這樣的話一年後你將會得到$Q=(1+r)^x=(1+100\%)^1=2元$的本金加利息

可是你足夠仔細，注意到了銀行的利息計算方式爲複利率，於是你便想儘可能多的在這一年中取出本息再全部存入，以獲得更多的回報，於是你計算了一下

1. 假設每半年便取出一次，則由於存款時間只有原來的$\frac{1}{2}$，因此利率只能看做年利率的$\frac{1}{2}$。
   1年後這種方法得到的本息爲：$Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{2})^2=2.2500元$
2. 假設每三個月便取出一次，則由於存款時間只有原來的$\frac{1}{4}$，因此利率只能看做年利率的$\frac{1}{4}$。
   1年後這種方法得到的本息爲：$Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{4})^4=2.4414元$
3. 假設每個月便取出一次，則由於存款時間只有原來的$\frac{1}{12}$，因此利率只能看做年利率的$\frac{1}{12}$。
   1年後這種方法得到的本息爲：$Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{12})^{12}=2.6130元$

根據這個思路進行了大量的迭代運算後得到下圖：
可以看到隨着交付次數的增加，1年後得到的本息總額也在增加。然而，這種增加是收斂的，它有一個不可逾越的頂點：$2.71828182845...$，這就是增長的極限，命名爲$e$。

計算複利率的過程進行到這裏，$e$的定義式已經呼之欲出，就是重要極限之一的：$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$