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0【NOIP2013模擬聯考3】庫特的向量(code)

從前在一個美好的校園裏，有一隻（棵）可愛的彎枝理樹。她內斂而羞澀，一副弱氣的樣子讓人一看就想好好疼愛她。僅僅在她身邊，就有許多女孩子想和她BH，比如鈴，庫特，等等。不過，除卻巫山不是雲，理樹的心理只有那個帥氣高大的男孩子——恭介，這讓女孩子們不得不終日唉聲嘆氣，以淚洗面。不過恭介是那樣強大而完美，根本沒有辦法擊敗他，她們也只好咬牙忍痛度日，以待反擊之時。

終於，她們獲得了一次機會。機智的庫特利用彈道學、密碼學、宇宙學的知識設計出了一個密室，可以讓進入的人無法從內部打開出口。庫特設計密碼的過程很奇葩，是由兩個用整數座標表示的n 維向量導出的。神奇的是，對於這兩個向量中的任意一個，無論如何將它的座標打亂(例如(a1,a2,a3)變成(a3,a1,a2)），打亂後的數量積都不會比原來的兩個向量的數量積小。而庫特就把原來的兩個向量的數量積作爲了密碼。現在她們只用把恭介引入就可以了。但是，好事多磨，由於她們的粗心大意，在測試密室的時候不小心把自己給關了進去，而且還帶走了密碼紙。在外面的鈴只找到了庫特寫着兩個打亂後的向量的草稿。哇呼~能不能解救這些萌妹子，就看你了。

對於50%的數據 n<=8 , |ai|,|bi|<=1000

對於100%的數據 n<=1000, |ai|,|bi|<=100000

向量a： $(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ ，向量b： $(b_1,b_2,b_3,...,b_n)$
兩個n維向量的數量積： $(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_a3+...+a_nb_n)$

然後這題求最小的向量積，那就把兩個向量中最小的座標和最大的座標乘
就 $a_i$ 和 $b_i$ 分別排序，一個升序另一個降序，然後按順序乘

那麼除了要開long long 就沒有任何要注意的地方了

#include <cstdio>
#include <algorithm> 

using namespace std;

int n;
long long ans;
int a[1005],b[1005];

bool comp(int a,int b){
	return a>b;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&b[i]);
	sort(b+1,b+1+n,comp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans=(long long)a[i]*b[i]+ans;
	printf("%lld",ans);
}

1 【NOIP2013模擬聯考3】恭介的法則(rule)

終於，在衆親們的奮鬥下，最終boss 恭介被關進了庫特設計的密室。正當她們鬆了一口氣時，這個世界卻發生了天翻覆地的變化：地面開始下沉，天空開始變成血紅色，海水沸騰……一幅世界末日的圖景。美魚從她手中的古籍《若山牧水詩歌集》中發現了原因：白鳥はかなしからずや空の青海のあをにも染まずただよふ。大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在創造這個世界的時候就篡改了法則。而這個法則的起源，就是一隻生死之間的貓。這個貓被關在一個黑盒子裏，盒子裏有兩個毒氣罐，如果有任意一個毒氣罐被打開那麼貓將會被殺死，法則也能得到糾正。然而外界能控制的僅僅是這兩個毒氣罐被打開的概率。假設第一個毒氣罐被打開的概率爲1/x，第二個毒氣罐爲1/y（x,y 爲正整數），那麼當兩個概率和爲1/(n!)時，貓將會被莫名其妙地殺死。現在美魚想知道，有多少對(x,y)可以讓貓被莫名其妙殺死。

對於30%的數據 n<=6

對於60%的數據 n<=50

對於100%的數據 n<=700000

對題目大意總結，得要求有多少對 $(x,y)$ 滿足 $1/x+1/y=1/(n!)$
對式子進行通分，得 $(x+y)/xy=1/(n!)$
然後分數運算，得 $(x+y)n!=xy$
把括號拆開，得 $xn!+yn!=xy$
把y放到同一邊，得 $xn!=xy-n!y$
把y提出來，得 $xn!=y(x-n!)$
把（x-n!)除到左邊，得 $xn!/(x-n!)=y$

由x，y是正整數得 $xn!>=(x-n!)>=1$ ，則必有 $x>n!$
這時設 $x=n!+k$ ， $k$ 爲任意整數，則原始等於 $(n!+k)n!/(n!+k-n!)=y$
然後 $(n!^2+kn!)/k=y$
把括號拆開，得 $n!^2/k+n!=y$
由y是正整數得 $k|n!^2$
題目順利轉化爲 $n!^2$ 有多少個不同約數

設 $n!^2=(p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k})^2$ ，其中 $q_i$ 爲質因子， $a_i$ 爲每個質因子的指數
那麼就有 $n!^2$ 的約數個數爲 $(a_1*2+1)*(a_2*2+1)*...*(a_k*2+1)$
可以理解爲對於一個質因子 $p_i$ ，可以選0個，選2個，…，選 $a_i*2$ 個

哇這就變成了篩素數，算約數個數，並高精度

首先篩素數上一個歐拉篩

然後算約數個數
1——n有約數i的數的個數爲n/i
n一直除pi，每次除都加進ai

最後高精度（然而聽說可以FFT?）
壓位，
並有一個小優化即當乘進答案的數足夠大時才進行運算，可以減少運算的次數，詳見註釋
（加了上面那個優化就可以不吸氧啦）
並補零的輸出scanf("%09lld",ans)那個09表示補足9位，不足的位用0補齊

#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(2)    //額我不吸氧也可以過的[堅強.jpg]
#include <cstdio>

using namespace std;

const long long mod=1000000000;
int n,m,ans,tem=1;
int p[250000],b[700005];
long long e[250000];
long long a[100000];

void plus(long long x){
	for (int i=1;i<=a[0];i++)
		a[i]*=x;
	for (int i=1;i<=a[0];i++){
		long long g=a[i]/mod;
		a[i]%=mod;
		a[i+1]+=g;
		if (i==a[0]&&g!=0) a[0]++;
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (b[i]==0) p[++p[0]]=i;
		for (int j=1;p[j]*i<=n&&j<=p[0];j++){
			b[p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
	a[1]=1;a[0]=1;
	for (int i=1;i<=p[0];i++){  //算每個質因數在1-n出現的次數
		for (int j=n;j>=p[i];) 
			j/=p[i],e[i]+=j;
	}
	for (int i=1;i<=p[0];i++){     //這裏乘法有一個小優化
		if (tem*(e[i]*2+1)>mod){//當要成進去的數快達到極限（很大）再乘進去，減少乘的次數
			plus(tem);
			tem=1;  	//乘完後臨時計數器清1
		}
		tem*=(e[i]*2+1);      //每次都往臨時計數器上堆數
	}
	if (tem>1) plus(tem);        //臨時計數器裏可能還有數沒有乘
	printf("%lld",a[a[0]]);
	for (int i=a[0]-1;i>=1;i--){		
		printf("%09lld",a[i]);  //這樣輸出可以補零呢
	}
}

2 【NOIP2013模擬聯考3】沙耶的玩偶(doll)

在美魚和理樹後援團拯救世界的同時，外表柔弱的理樹也開始堅強起來，思考着離開這個世界的辦法。誤打誤撞地，她遇上了正在教室破壞課桌打開迷宮入口的沙耶。沙耶告訴理樹，這個世界的出口就是這個迷宮的出口。於是理樹毫不猶豫地跟沙耶一起跳進了迷宮。在迷宮裏，兩個女孩子互幫互助，一會兒割繩子，一會兒泡溫泉，一會兒雕冰塊，跌跌撞撞地走到了終點。不出所料，終點也有一個機關在等着她們。

終點的機關是一個立着的mn 的方格棋盤，在有些格子上放了一個玩偶，而有些地方直接挖了個大坑。只有取走所有玩偶才能打開出口。但是，由於奇怪的設定，理樹和沙耶不能直接觸碰玩偶，他們需要操縱機器人來收集它。機器人的走法很奇怪，和國際象棋的馬有點像，只不過馬可以走任意方向的12 路線，它們只會由上往下走rc(或cr)的路線，不能回頭。而機器人一旦經過一個有玩偶的格子，那個格子上的玩偶將被回收，並且在機器人離開時，那個格子會變成一個坑。理樹可以把機器人放在任何一個有玩偶的格子上作爲起點，也可以在任何一個有玩偶的格子回收機器人。機器人行走可以視爲瞬移，只不過每一次設置新起點都會消耗1 時間。並且，有坑的格子不能落腳。

就在這個緊要關頭，玩偶狂熱愛好者的沙耶卻流着口水智商歸0。理樹不得不轉而求助你，幫忙計算出最少多少時間就能收集到所有玩偶。

30%的數據中，1<=M,N<=4，1<=R,C<=3。

70%的數據中，1<=M<=20，1<=N<=4，1<=R,C<=3。

100%的數據中，1<=M,N<=50，1<=R,C<=10。

由於這是一個有許多格子的圖，並每個格子與其他某些格子有某種關係
那麼可以看看二分圖/網絡流

難度當然主要在建圖

二分圖的建圖呢，就將二維的圖上的點標號，化爲一個個的點，將點複製一倍
設由 $(x1,y1)$ 可以跳到 $(x2,y2)$ ，就將 $x1*m+y1$ 向 $x2*m+y2+n*m$ 連邊
答案是總玩偶數-最大匹配數，因爲每一個匹配都是由一個點跳向另外一個點，後面那個點顯然不用花費時間設置新起點，而剩下的點當然需要設置新起點

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int dx[6],dy[6];
int m,n,e,c,ans,spa;
int b[55][55],co[5012],l[5012];
int ls[5012],ne[100005],y[100005];

bool match(int x){
	for (int i=ls[x];i;i=ne[i])
	if (co[y[i]]==0){
		int q=l[y[i]];
		l[y[i]]=x;
		co[y[i]]=1;
		if (q==0||match(q)) return 1;
		l[y[i]]=q;
	}
	return 0;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&e,&c);
	if (e==c){
		dx[0]=2,dx[1]=e,dx[2]=e;
		dy[0]=2,dy[1]=c,dy[2]=-c;
	} else {
		dx[0]=4,dx[1]=e,dx[2]=e,dx[3]=c,dx[4]=c;
		dy[0]=4,dy[1]=c,dy[2]=-c,dy[3]=e,dy[4]=-e;
	}
	for (int i=0;i<n;i++){
		char ch[55];
		scanf("%s",ch+1);
		for (int j=1;j<=m;j++)
		if (ch[j]=='.') {
			b[i][j]=1;
			spa++;
			for (int k=1;k<=dx[0];k++){
				int x=i-dx[k],yy=j-dy[k];
				if (x>=0&&yy>0&&x<n&&yy<=m&&b[x][yy]==1)
					ne[++ne[0]]=ls[x*m+yy],ls[x*m+yy]=ne[0],y[ne[0]]=i*m+j+n*m;
			}
		}
	}
	for (int i=0;i<n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
		if (b[i][j]==1){
			memset(co,0,sizeof co);
			match(i*m+j);
		}
	for (int i=0;i<n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
		if (l[i*m+j+n*m]!=0&&b[i][j]==1) ans++;
	printf("%d",spa-ans);
}

開門那一瞬，陽光照在你的身上

文藝的後續：
——你的身形模糊又美麗，髮絲都泛着金光，背後是藍天白雲，青葉遠山
——那一瞬我以爲你是我的誰

競賽室真實的後續：
——我以爲你是AJ （by hjw)
——嚇得我關掉了瀏覽器

在教室更真實的後續：
——亮瞎了我的眼
——曬死了
——下次進教室麻煩不要走前門謝謝

2019.08.15【NOIP提高組】模擬 B 組排序、計算幾何+數論、高精度優化+二分圖/網絡流

文章目錄

0【NOIP2013模擬聯考3】庫特的向量(code)

1 【NOIP2013模擬聯考3】恭介的法則(rule)

2 【NOIP2013模擬聯考3】沙耶的玩偶(doll)

開門那一瞬，陽光照在你的身上

2019.08.23【NOIP提高組】模擬 B 組 DP+快速冪、數論+最短路、DP+二分、二維樹狀數組

P1082 同餘方程(NOIP 2012 提高組第二天第一題) 拓展歐里幾得

2019.08.10【NOIP提高組】模擬 B 組 bfs+狀壓DP+單調棧優化+拓補排序、遞推

2019.04.20【NOIP提高組】模擬 B 組觀察題目+堆（？）+最大匹配+貪心、DP

2019.03.30【NOIP提高組】模擬 B 組排序、二分+spfa、樹形DP+前綴和

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結

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