∑sin(nx)/n的值的計算。

 在參考《吉米多維奇4》的基礎之上，最近終於解決了一直困擾自己的一個問題——下面級數的值如何計算，現在將方法分享給大家，若有紕漏之處，望大家批評指正。

首先，該級數是條件收斂的。證明的話，分兩步：

一、該級數是收斂的，證明如下：（用Dirichlet判別法）

運用三角函數的積化和差公式，得

 經過化簡（上式等式右邊相鄰兩項抵消），得（0<x<pi）

 

也就是說，無論N取多大，都有

故sinnx的部分和有界，又因爲1\n單調遞減趨於零，由Dirichlet判別法知，該級數收斂。

二、該級數不絕對收斂。證明如下：

注意，上式等式最右側的級數同上面一的證法也可證明收斂，而右邊第一項的級數是發散的，故該級數加絕對值後等於正無窮，即是發散的。

下面開始計算該級數的值：（運用複數）

令，那麼有（下面第三個等號運用公式lnz=ln(|z|e^iargz)=ln|z|+iargz）

而

故有

又由棣莫弗公式得

實部對實部，虛部對虛部，故有

至此，問題得以解決。如計算下面級數的值：可令x=1，則有

最後，希望大家能夠對這類問題有所啓發，掌握解決這類問題的一種思路。