使用Python3進行信號處理和分析（一）：使用類Matlab的方式繪製波特圖（Bode Plot）

Preface

該系列文章是筆者複習研究生入學考試專業課，爲輔助理解使用Python進行實驗時所寫。要求讀者有電子信息方向本科大二及以上的基礎知識，包括模數電、信號與系統以及數字信號處理等。因此部分細節性的知識不再詳述。
本文使用的環境爲Matlab R2018b以及Python 3.7.1（由Anaconda管理）

波特圖

注意：此波特（Bode）非彼波特（Baud），後者是通信中的概念。

波特圖是線性非時變系統的傳遞函數對頻率的半對數座標圖，利用波特圖可以看出系統的頻率響應。又稱幅頻響應和相頻響應曲線圖。

以上摘自百度百科，波特圖在模擬系統的分析中十分重要。
頻率響應的計算來源於信號與系統的拉氏變換：將模擬系統看做線性時不變（LTI）系統，輸入電壓$v_i(t)$看做激勵信號$e(t)$，輸出電壓$v_o(t)$看做響應信號$r(t)$，那麼該系統就滿足(1)式：
$r(t) = e(t) * h(t) \tag1$
其中$h(t)$是系統的衝激響應，對其進行拉氏變換，有
$R(s) = E(s)H(s) \tag2$
(2)式中的$H(s)$稱爲系統函數，已知系統函數滿足(3)式：
$H(s) = \left| H(s)\right| e^{\phi(s)} \tag3$
在理論分析中，一般認爲複頻率$s$滿足(4)式（爲什麼？）
$s = j\omega \tag4$
於是綜合(3)(4)兩式，易得
$H(j\omega) = \left| H(\omega) \right| e^{\phi(j\omega)} \tag5$
其中$\left| H(\omega) \right|$稱爲信號的幅頻特性，$\phi(j\omega)$稱爲信號的相頻特性，它們都反映了系統的頻率特性。波特圖正是直觀反映它們的工具。
現在設某系統的系統函數爲(6)式，逐一討論如何使用matlab和python3繪製波特圖
$H(s) = \frac{s+1}{s^2-5s+6} \tag6$

使用matlab繪製波特圖

Matlab擁有極豐富的信號處理工具箱，可以輕易的繪製出系統的波特圖。
這裏主要藉助tf函數進行繪製

% 方法一：使用tf構建複頻率變量
s = tf('s');
sys = (s + 1) / (s ^ 2 - 5 * s + 6);
bode(sys)

% 方法二：直接使用tf構建系統函數
sys = tf([1, 1], [1, -5, 6]);
bode(sys)

可見，不論如何構建系統函數，都需要使用bode()函數進行繪圖，該函數可以一次性給出幅頻特性和相頻特性的曲線，極爲方便。

使用python3繪製波特圖

這裏必須安裝這麼幾個第三方庫：numpy，scipy，matplotlib。可以使用conda或者pip安裝。

# -*-coding: UTF-8 -*-
from scipy import signal
from pylab import *

def main():
	system = signal.lti([1, 1], [1, -5, 6])			# 類似tf函數，構建系統函數H(s)
	f = logspace(-2, 5)								# 取頻率座標，0.01Hz ~ 0.1MHz
	w = 2 * pi * f									# 取角頻率
	w, mag, phase = signal.bode(system, w)			# 計算各參量, mag爲幅頻特性，phase爲相頻特性
	semilogx(f, phase)								# 繪製半對數座標圖（頻率作爲橫軸採用對數座標），將phase換成mag即爲幅頻特性曲線

	show()											# 很重要，如無此函數則不顯示

if __name__ == "__main__":
	main()

注意

代碼較爲簡單，因此就不上圖了
這裏交代兩個問題：

1. 爲什麼$s=j\omega$？
   答：因爲模電的理論分析中常用正弦信號作爲輸入信號，由歐拉公式，$cosj{\omega}t = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}$，因此複頻率爲純虛數

2. tf和lti傳參的問題
   這兩個函數較爲相似，在直接構建系統函數時，接受的參數應爲系統函數分子和分母各項的係數組成的列表，係數的分配是從右到左的，這點不難從上面的代碼中觀察得出