LFSR——二進制下線性反饋移位寄存器與Berlekamp-Massey算法

LFSR——二進制下線性反饋移位寄存器與Berlekamp-Massey算法

轉載自：元暑期學校課件(侵刪)

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線性反饋移位寄存器（LFSR）

給定一個線性反饋移位寄存器(LFSR)的n個初始值$a_0,a_1,...,a_{n-1}$，不斷地加移位脈衝，n級LFSR就會輸出一序列
$a_0, a_1,a_2,...$
$a_i\in F_2=\{0,1\}$.

其中$a_{i+n}$滿足等式
$a_{i+n}=\sum^n_{j=1}c_ja_{i+n-j},c_j\in F_2.$
我們把這樣的序列稱爲 （n級）線性反饋移位寄存器（LFSR）。

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特徵 多項式與聯接多項式

n級LFSR的**特徵多項式(Characteristic Polynomial)**爲
$f (x) = x ^ n + \sum _ {i = 1} ^ {n} c_ix ^ {n-i},$

其**聯接多項式(Reciprocal Polynomial/Joint Polynomial)**爲
$\overline{f} (x) = x^n f(\frac{1}{x})= 1 + \sum _ {i = 1} ^ {n} c_ix ^ i.$

將滿足遞推關係式（2）的n級LFSR序列稱爲由$f(x)$產生的序列。

G(f)：由$f(x)$產生的所有序列的全體組成的集合。

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極小多項式

設a是$F_2$上的一個週期序列，存在$F_2$上唯一的首一多項式$f(x)$使得a$\in G(h(x))$當且僅當$f(x)|h(x)$。這個多項式$f(x)$稱作a的極小多項式。

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Berlekamp-Massey算法

Berlekamp-Massey算法(簡稱BM算法)：在已知二元序列的情況下求解其極小多項式和階數。

（1） 設$n_0$是一個非負整數，滿足
$a_0=a_1=\cdots=a_{n_0-1}=0,a_{n_0}\neq 0.$
取
$d_0=d_1=\cdots=d_{n_0-1}=0,d_{n_0}=a_{n_0},$
令
$f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_{n_0}(x)=1,$

$l_1=l_2=\cdots=l_{n_0}=0.$

令
$f_{n_0+1}(x)=1- d_{n_0}x^{n_0+1},l_{n_0+1}=n_0+1.$
(2) 假設$(f_i(x),l_i),1\leq i\leq n \leq N$ 已經求得。而
$l_1=l_2=\cdots=l_{n_0}<l_{n_0+1}\leq l_{n_0+2}\leq \cdots \leq l_n$
根據$f_n(x)=1+c_{n,1}x+\cdots+c_{n,l_n}x^{l_n}$，並計算
$d_n = a_n + c_{n,1}a_{n-1}+\cdots+c_{n,l_n}a_{n-l_n}.$
如果$d_n=0$，則取
$f_{n+1}(x)=f_n(x), l_{n+1}=l_n;$
若$d_n\neq 0$，這時一定存在$1\leq m< n$，使
$l_m<l_{m+1}=l_{m+2}=\cdots=l_n,$
取
$f_{n+1}(x)=f_n(x)-d_nd_m^{-1}x^{n-m}f_m(x),$

$l_{n+1}=max\{l_n,n+1-l_n\}.$

例 求週期爲8的序列$a^{(8)}=00101101$的極小多項式和階數。

解 $a_0=0, a_1=0, a_2=1, a_3=0, a_4=1, a_5=1, a_6=0, a_7=1$. 首先$n_0=2$，因此
$d_0=d_1=0,d_2=1,$

$f_1(x)=f_2(x)=1,f_3(x)=1-x^3,$

$l_1=l_2=1,l_3=3.$

計算$d_4=a_4-a_1=1-0=1\neq 0$，這時$l_2<l_3=l_4$，因此m=2，
$f_5(x)=f_4(x)-d_4d_2^{-1}x^{4-2}f_2(x)=1-x^3-x^2=1+x^2+x^3,$

$l_5=max\{l_4,4+1-l_4\}=3.$

計算$d_5=a_5+a_3+a_2=1+0+1=0$，因此
$f_6(x)=f_4(x)=1+x^2+x^3,l_6=l_5=3.$
計算$d_6=a_6+a_4+a_3=0+1+0=1\neq 0$, 這時$l_2<l_3=l_4=l_5$，因此$m=2$，
$f_7(x)=f_6(x)-d_6d_2^{-1}x^{6-2}f_2(x)=1+x^2+x^3-x^4=1+x^2+x^3+x^4，$

$l_7=max\{l_6,7-l_6\}=4.$

計算$d_7=a_7+a_5+a_4+a_3=1+1+1+0=1\neq0$，這時$l_6<l_7$,因此$m=6$，
$f_8(x)=f_7(x)-d_7d_6^{-1}x^{7-6}f_6(x)=1+x^2+x^3+x^4-x(1+x^2+x^3)=1+x+x^2，$

$l_8=max\{l_7,8-l_7\}=4.$

所以$a^{(8)}=00101101$的極小生成多項式爲$1+x+x^2$，階數爲4。