【計算機基礎】詳解IEEE754浮點數規格化表示（小數點左邊隱含一位1）

原文鏈接：https://blog.csdn.net/AaricYang/article/details/91358149

1、IEEE浮點表示

IEEE(讀作“eye-triple-ee”)浮點標準754中，用圖1的形式來表示一個數：

圖1 浮點數表示形式​​​

符號(sign)——s決定這個數是負數(s=1)還是正數(s=0)，而對於數值0的符號位解釋，作爲特殊情況處理；

尾數(significand)——M決定浮點數的精度，它是一個二進制小數；

階碼(exponent)——E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪(可能是負數)，它決定浮點數的取值範圍。

對於單精度 / 雙精度 / 擴展精度，組成形式是：1 / 1 / 1位符號，8 / 11 / 15位階碼，23 / 52 / 64位尾數。

2、浮點數值的分類 

根據階碼，浮點數可以分成三種情況：規格化的，非規格化的或特殊值 

 情況1：規格化的值

 當階碼的所有bits，既不全爲0，也不全爲1時，都屬於這種情況。

此時，階碼字段被解釋爲"以偏置(Bias)形式表示的有符號整數" 。也就是說，階碼所表示的實際數值應是 

其中 e 是k 位的階碼所表示的無符號數值，其位表示形式爲："  "。 

而Bias是一個等於的偏置值，例如單精度float的偏置是127。由此產生指數的取值範圍，對於單精度float是 -126~127 (針對階碼數值爲-127或128時的分析，請參考情況2和情況3)。

 

而尾數字段，則被定義爲  

其中，f 是n 位的尾數所表示的小數值，滿足 ，其二進制表示爲："   "，也就是二進制小數點在最高有效位的左邊。

有時，這種方式也叫做隱含的以1開頭的表示 ，因爲我們可以把尾數 M 看成是一個二進制表達式爲："  " 的數字。

爲什麼要用這種表示方式？因爲既然我們總能夠調整階碼 E ，使得尾數 M 在範圍  之中，那麼這種表示方法是一種輕鬆獲得一個額外精度位的技巧——既然第一位總是等於1，那我們就不需要顯式地表示它。

由此，規格化形式可以表示的數值 V 的範圍是  。

 
情況2：非規格化的值

 當階碼的所有bits全爲0時，所表示的數是非規格化形式。(針對單精度float，階碼值爲-127)

在這種情況下，階碼的數值是  。而尾數的值是  ，也就是尾數字段的值，開頭沒有隱含的1。

——那麼，爲什麼非規格化形式爲什麼將階碼值定義爲 ，而不是  ？

——因爲只有這樣，才能從非規格化值平滑轉換到規格化值。（對此，本文章最後以數字示例做了詳細解釋。）

 非規格化形式提供了兩種數值0的表示，以單精度float爲例，分別是：

+0：0    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000；

-0： 1    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000。

由此，非規格化形式可以表示的數值 V 的範圍是分段函數  ，其中，s 爲符號位。

 

情況3：特殊值

 當階碼的所有bits全爲1時，所表示的數是特殊值。(針對單精度float，階碼值爲128)

（1）無窮 ∞

尾數爲0時，該值表示無窮。當兩個非常大的數相乘時，或除數爲0時，無窮能夠表示溢出的結果。

+∞ ：0    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000

-∞  ：1    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000

（2）NaN

尾數不爲0時，結果值被稱爲“NaN (Not a Number)”，一些運算的結果不爲實數或無窮時，就會返回這樣的 NaN 值，比如計算  或  時。

NaN  ：x    1111 1111    xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

3、數字示例 
圖2展示了假定的8位浮點格式的示例，其中有 k = 4 的階碼位和 n = 3 的小數位。於是可知偏置量 Bias 是  。

圖2 8位浮點格式的非負值示例

可以觀察到，最大非規格化數  和最小規格化數  之間的平滑轉變。這種平滑性歸功於我們對非規格化數的階碼 E 的數值的定義。通過將非規格化數的階碼 E 定義爲 1 - Bias，而不是 -Bias，我們可以補償非規格化數的尾數沒有隱含的1。

本文完。

 

摯謝閱讀！

 

原文鏈接：https://blog.csdn.net/AaricYang/article/details/91358149