C [yLOI2019] 棠梨煎雪
Background
歲歲花藻檐下共將棠梨煎雪
自總角至你我某日輾轉天邊
天淡天青 宿雨沾襟
一年一會信箋卻只見寥寥數言
——銀臨《棠梨煎雪》
Description
給定 \(m\) 個長度爲 \(n\) 的可能含有 ？ 的 01 串，其中 ? 既能代表 0 也能代表 1， \(q\) 次操作，每次給定一個區間，求有多少 01 串滿足區間內的所有字符串都可以解釋成該 01 串，或者單點修改某個字符串。
Limitations
Solution
子任務 \(1\)：
輸出 \(0\) 即可得分，期望得分 \(5~pts\)。
子任務 \(2\)：
考慮 \(n\) 只有 \(10\)，因此可以 \(O(2^n)\) 去枚舉所有可能的串，然後對於每個詢問 \(O(m)\) 的逐個判定是否合法。時間複雜度 \(O(qm2^n)\)，期望得分 \(10~pts\)。
子任務 \(3\)：
考慮對於一段所有字符串的第 \(x\) 個字符，一共有四種可能：確定爲 \(0\)；確定爲 \(1\)；都可以；都不可以。如果 \(0/1\) 都不可以，則答案爲 \(0\)，因爲不會有任何一個字符串匹配該區間。如果確定爲某個數，則這一位只有一種可能；否則這一位有兩種可能。根據乘法原理，如果有 \(a\) 個位置有兩種可能，則本次詢問的答案爲 \(2^a\)。
因此對於每個詢問，\(O(nm)\) 地去遍歷區間內所有字符即可。時間複雜度 \(O(nmq)\)，期望得分 \(15~pts\)。
子任務 \(4\)：
考慮 \(n\) 只有 \(30\)，可以狀壓到 int 中。具體的，維護兩個 int，第一個 int 維護對應位是否確定是 \(0\) 或 \(1\)，第二個 int 維護如果確定是 0 或 1 了那麼具體是 0 還是 1。
例如，對於單個字符串，它所有的爲 ? 的位置，在第一個 int 中對應位置是 0，所有爲 0 或 1 的位置，在第在個 int 中對應的位置是 1，在第二個 int 中對應的位置是自身的值。
考慮 \(a_1,~a_2\) 是詢問的左端點到某個字符串之前所維護的兩個 int，\(b_1,~b_2\) 是該字符串的兩個 int，現在合併這兩個信息。
如果某一位置即不可以是 \(1\)，也不可以是 \(0\)，那麼該字符串不爲 ? 的位置在 \(b_2\) 中對應的值應該至少有一個和 \(a_2\) 中對應位置的值且 \(a_1\) 的該位置爲 \(1\)，位運算可以表現爲 \((a1~\&~b_1)~\&~(a_2~\oplus~b_2) ~\neq 0\)，則該詢問的答案爲 \(0\)。
否則這兩段信息可以合併：將他們已經確定字符的位置合併起來，然後將確定位置對應的值合併起來即可。於是 \(a_1\) 對 \(b_1\) 取或， \(a_2\) 對 \(b_2\) 取或即可。
最終該詢問 \(0/1\) 都可以的位置的個數即爲 \(a_1\) 中 \(1\) 的個數。
時間複雜度 \(O(mq)\)，期望得分 \(15~pts\)
子任務 \(5\)：
由於 \(n\) 只有 \(1\)，問題變成了求某個區間內的字符是不是全是 0，全是 1，全是 ? 或 0 和 1 都有。可以考慮用線段樹非常輕鬆的維護這樣的信息。
時間複雜度 \(O(q \log m)\)，期望得分 \(15~pts\)
子任務 \(6\)：
世界上沒有什麼事情是開一棵線段樹不能解決的，如果有，那就開 \(30\) 棵。
時間複雜度 \(O(nq \log m)\)，期望得分 \(10~pts\)
子任務 \(7\)：
考慮結合子任務 \(4\) 和子任務 \(5\) 的做法，發現兩個區間的狀壓信息也可以用子任務 \(4\) 的方法合併。因此用線段樹維護這兩個 int 的狀壓信息即可。
時間複雜度 \(O(q \log m)\)，期望得分 \(30~pts\)