【字符串】KMP

Algorithm

Task

給定一個文本串 \(S\) 和一個模式串 \(T\)，求 \(T\) 在 \(S\) 中出現的所有位置。

Limitations

要求時空複雜度均爲線性。

Solution

回頭重新學一遍看毛片 KMP 算法。

設 \(X\) 是一個字符串，則以下表述中，\(X_u\) 代表 \(X\) 的第 \(u\) 個字符，\(X_{u \sim v}\) 代表 \(X\) 的從 \(u\) 起到 \(v\) 結束的字串。

首先定義一個字符串的公共前後綴爲這個字符串的一個 \(border\)，最長公共前後綴稱爲最長 \(border\)。特別的，不認爲字符串本身是自身的 \(border\)。

性質：字符串 \(S\) 的 \(border\) 的 \(border\) 一定是 \(S\) 的 \(border\)，正確性顯然。因此不斷地跳最長 \(border\) 可以遍歷字符串的所有 \(border\)

例如，對於字符串 \(abaab\) 來說，其唯一的 \(border\) 是 \(ab\)。

暴力匹配兩個字符串，時間複雜度爲 \(O(|S||T|)\)，考慮優化這個算法。

假設當前匹配時 \(S\) 掃描到了第 \(i\) 位， \(T\) 掃描到了第 \(j\) 位，且 \(S\) 從 \(i\) 向前 \(j\) 位組成的字符串與 \(T\) 的前 \(j\) 位相同，而 \(S_{i + 1} \neq T_{j+1}\)，我們稱爲發生了失配。

考慮失配時，指針 \(i\) 不變，只有將指針 \(j\) 前移，纔可能令下一位成功匹配。由於 \(i\) 不變，所以下一個可能發生匹配的字符串一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的某個前綴 \(T_{1 \sim k}\) 滿足

\[T_{1 \sim k} = S_{i - k + 1 \sim i}\]

其中由於 \(T_{1 \sim k}\) 是 \(T_{1 \sim j}\) 的字串，一定有 \(k < j\)。由於 \(S_{1 \sim i}\) 的後 \(j\) 位與 \(T\) 的前 \(j\) 位匹配，又有 \(k < j\)，因此 \(T_{1 \sim j}\) 的後 \(k\) 位一定與 \(S_{1 \sim i}\) 的後 \(k\) 位即 \(S_{i - k + 1 \sim i}\) 匹配。得出

\[T_{j - k + 1 \sim j} = S_{i - k + 1 \sim i}\]

上面兩個式子等量代換得到

\[T_{1 \sim k} = T_{j - k + 1 \sim j}\]

由 \(border\) 的定義，我們發現 \(T_{1 \sim k}\) 一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的 \(border\)。根據 \(border\) 的性質，我們只需要不斷的跳 \(T_{1 \sim j}\) 的最長 \(border\) 即可找到一個最長的可以與 \(S_{1 \sim i}\) 的後幾位匹配的字串。因此問題轉化爲了如何求一個字符串 \(T\) 的所有前綴的最長 \(border\)。

顯然 \(border_1 = 0\)。從第 \(2\) 位開始，我們發現問題等價於用 \(T\)（模式串） 的一個前綴去匹配 \(T_{1 \sim i}\) （文本串）的一個後綴，求這個後綴最長是多少，而這個問題的解決方法與上面那個問題的方法 完 全 一 致，都是不斷跳 \(border\) 即可。在 \(i\) 與 \(j\) 成功匹配時，記錄 \(border_i = j\)。而在這個問題中，由於 \(j\) 恆小於 \(i\)，正向掃描 \(i\) 時，所用到的 \(border\) 值都已經被計算出，因此可以得出正確的結果。

考慮時間複雜度：一個顯然的事實是每次跳 \(border\) 模式串指針 \(j\) 都會至少減少 \(1\)，而當且僅當第 \(S_{i+1}\) 與第 \(T_{j+1}\) 匹配時，\(j\) 纔會自增，因此 \(j\) 僅增加了 \(O(|S|)\)，因此 \(j\) 只可能減少 \(O(|S|)\) 次，所以跳 \(border\) 的總次數不超過 \(O(|S|)\)，而掃描整個文本串需要 \(O(|S|)\) 的時間，因此總時間複雜度 \(O(|S|)\)。

Example

P3375 【模板】KMP字符串匹配

Description

給定一個文本串 \(S\) 和一個模式串 \(T\)，求 \(T\) 在 \(S\) 中出現的所有位置，同時要求輸出 \(T\) 的每個前綴的 \(border\) 長度。

Limitations

字符串長度不超過 \(10^6\)

Solution

闆闆題

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn = 1000006;

char S[maxn], T[maxn];
int nxt[maxn];

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt);

int main() {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  scanf("%s\n%s", S + 1, T + 1);
  int x = strlen(S + 1), y = strlen(T + 1);
  KMP(T, T, y, y, false); KMP(S, T, x, y, true);
  for (int i = 1; i <= y; ++i) {
    qw(nxt[i], i == y ? '\n' : ' ', true);
  }
  return 0;
}

void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt) {
  for (int j = 0, i = pt ? 1 : 2; i <= x; ++i) {
    while (j && (B[j+1] != A[i])) j = nxt[j];
    if (B[j+1] == A[i]) ++j;
    if (!pt) nxt[i] = j;
    if (j == y) {
      qw(i - y + 1, '\n', true);
    }
  }
}