歐拉降冪

歐拉函數加快速冪：

ll phi(ll n) {
	ll ans = 1;
	for (ll i = 2; i*i <= n; i++) {
		if (n%i == 0) {
			n /= i;
			ans *= i - 1;
			while (n%i == 0) {
				n /= i;
				ans *= i;
			}
		}
	}
	if (n > 1) ans *= n - 1;
	return ans;
}
 
ll multiply(ll a, ll b, ll mod)
{
	ll ans = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			ans = ((ans%mod)*(a%mod)) % mod;
			b--;
		}
		b /= 2;
		a = ((a%mod)*(a%mod)) % mod;
	}
	return ans;
}

例題：
題意：
A(m) = mod (1e9+7)，m爲2的層數。T組數據(T<=10)，每組輸入包含一個m（1<=m<=10）。

分析：
指數會爆long long，所以需要歐拉降冪。需要注意的是，在計算指數的時候也會用到快速冪，此時模數需要迭代。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll ph(ll x)
{
    ll ans=x,a=x;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(a%i==0)
                a/=i;
        }
    }
    if(a>1)
        ans=ans/a*(a-1);
    return ans;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            if(a>=b)
                ans=(ans*a)%b+b;
            else
                ans=ans*a;
        }
        if(a>=b)
            a = (a * a)%mod+mod;
        else
            a=a*a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll f(ll p)
{
    if(p==1)
        return 0;
    ll k=ph(p);
    return quick_pow(2,f(k)+k,p);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll p;
        scanf("%lld",&p);
        printf("%lld\n",f(p));
    }
    return 0;
}

 
//計算指數
ll cul(int x, ll p)
{
	ll val = 4;
	if (x == 1) {
		return val;
	}
	//注意模數需要迭代
	val = multiply(2, cul(x - 1, phi(p)), p);
	return val % p + p;
}
 
int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	f[1] = 4;
	//phi(1e9+7)=1e9+6
	for (int i = 2; i <= 10; i++) {
		f[i] = multiply(2, cul(i - 1, MOD - 1), MOD);
	}
	while (T--)
	{
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld\n", f[n]);
	}
	return 0;
}

那麼再來一題

題意 ：A^B mod C 其中B爲10^1000000
思路:B很大，所以需要降冪，套一下公式求一下就行了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2; i*i<=n; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
ll quickpow(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll a,b,c;
char s[11111];
int main()
{
    while(~scanf("%lld %s %lld",&a,s,&c))
    {
        ll p=phi(c);
        int len=strlen(s),flag=0;
        b=0;
        for(int i=0; i<len; i++)
        {
            b=b*10+s[i]-'0';
            if(b>p)
            {
                flag=1;
                b%=p;
            }
        }
        ll ans;
        if(flag)
        {
            ans=quickpow(a,b+p,c);
        }
        else
        {
            ans=quickpow(a,b,c);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}