知識點 - 李超樹

原文鏈接：https://blog.csdn.net/jk_chen_acmer/article/details/100364193

知識點 - 李超樹

解決問題類型：

李超樹是一種線段樹的應用，主要應用場合爲：單點集合域，區間等差插入，求單點最值。

• 動態地插入多條二維線段，詢問某個$x$對應的$y$值的最值。
• 修改$[L,R,b,k]$，對於第$i∈[L,R]$個集合，插入$b+(i−L)k$，詢問某個集合的最大值。

實現

1. 每個線段樹結點記錄的是 $x = mid$ 時的最值線段

2. 先考慮怎麼查詢。因爲只能記錄 $x = mid$ 時的最值線段，所有包含pos的大區間的答案可能不是最優解。所以要遞歸的往下查找，直到$L=R$

3. 考慮插入一條線段。若區間無線段，則成爲最優線段。否則進行比較。

4. 設$Old$爲原線段在$l$上的值，$Old$_爲在$r$上的值。$New$ 同理。

5. 簡單的情況,$Old >New$,$Old\_ > New\_$或相反時，顯然可以直接判斷孰優孰劣。

6. 考慮存在交點的情況。

• 右圖的情況下，交點小於一半，根據兩條線的位置關係可以判斷，右區間還是原來的線段更優。所以這種情況下，只需要遞歸的做左邊即可。
• 考慮左圖的情況，此時當前區間的最值在$new$上，再結合我們的查詢，我們還要記錄$old$（再右半邊存在$old$優於$new$的情況）。所以將$old$在右區間往下傳遞。
• 位置相反的時候也這樣考慮一下就行。

複雜度

• 線段定義域固定時，查詢和插入的時間複雜度都是$O(logn)$
• 線段定義域不固定時，因爲修改區間可能分爲$log$個區間，每個區間可能遞歸到底，所以插入的時間複雜度爲$O(log^2n)$查詢複雜度爲$O(logn)$
• 查詢爲$O(logn)$可以直接使用不固定的代碼，時間複雜度該多少就是多少 ，但是它長啊 。

例題

BZOJ 1568

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define debug(str) cerr<<#str<<" = "<<str<<'\n';
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=5e4+9;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

struct line{
    bool have;
    double k,b;
}tr[maxn<<2];
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
void update(double k,double b,int rt=1,int l=1,int r=5e4){ // insert y=kx+b
    if(!tr[rt].have){
        tr[rt].k=k,
        tr[rt].b=b,
        tr[rt].have=1;
        return;
    }
    double Old=tr[rt].k*l+tr[rt].b,Old_=tr[rt].k*r+tr[rt].b;
    double New=k*l+b,New_=k*r+b;
    if(Old>=New&&Old_>=New_)return;
    if(Old<=New&&Old_<=New_){
        tr[rt].k=k,
        tr[rt].b=b;
        return;
    }
    // k won't equiv tr[rt].k
    double pos=-(b-tr[rt].b)/(k-tr[rt].k);
    if(Old<=New){
        if(pos<=mid){
            update(k,b,ls,l,mid);
        }
        else{
            update(tr[rt].k,tr[rt].b,rs,mid+1,r);
            tr[rt].k=k,tr[rt].b=b;
        }
    }
    else{
        if(pos>=mid){
            update(k,b,rs,mid+1,r);
        }
        else{
            update(tr[rt].k,tr[rt].b,ls,l,mid);
            tr[rt].k=k,tr[rt].b=b;
        }
    }
}

double query(int x,int rt=1,int l=1,int r=5e4){ // query most value at x
    double ans=-2e18;
    if(tr[rt].have)
        ans=tr[rt].k*x+tr[rt].b;
    if(l==r)return ans;
    if(x<=mid)ans=max(ans,query(x,ls,l,mid));
    else ans=max(ans,query(x,rs,mid+1,r));
    return ans;
}

char str[50];
int main(){
    int t=rd();
    while(t--){
        scanf("%s",str);
        if(str[0]=='P'){
            double k,b;
            scanf("%lf%lf",&b,&k);
            update(k,b-k);
        }
        else{
            int x;scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",max(0,(int)floor(query(x)/100.0)));
        }

    }
    return 0;
}