【學習筆記】立體計算幾何

【基本知識】

向量運算：
模長：$len=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
加減：對應座標加減，結果爲一個向量；
點積：依舊定義爲$\vec{a}$到$\vec{b}$的投影，計算方式爲將對應座標相乘後相加，結果爲一個值。如
$(x_1,y_1,z_1) \cdot(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
叉積：**叉積的結果是一個向量。**方向可用“右手定則”~~（瞎編的名字）~~確定：食指指向一個向量，中指指向另一個，大拇指與中指、食指所在平面垂直。則大拇指的方向即爲叉積結果的方向。

座標計算：
$(x_1,y_1,z_1) \times (x_2,y_2,z_2)=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)$
平面的法向量：見向量叉積的定義。

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基本操作：
·判斷點D是否在平面ABC內： 求平面ABC的法向量$\vec{n}$，若$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AD}=0$，則$D \in 平面ABC$。
點D到平面ABC距離： 由向量點積的定義：$dis=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\vec{n}|}$

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算法（持續更新）：
求凸包。
step1：擾動。
將每一個點的座標加/減一個足夠小的隨機值，使其不會引起誤差，並能保證不會出現四點共面的情況。
step2：記錄平面
由於最多三點在一個平面上，故通過記錄平面上的三個點記錄一個平面。
step3：構造
假如我們構造出了一個凸包。現在嘗試擴展。
我們從待選點中拿一個出來，記爲$P$。從$P$向凸包作射線。
不難發現，這若干條射線一定與凸包交於若干個棱上。

將可見面刪去，並將$P$加入凸包。這樣，我們就完成了一次擴展。

爲保證正確性，需要對每一個平面判斷是否可見，故時間複雜度爲$O(n^2)$。
判斷某個點是否可見：用平面的法向量與P到平面上的任意一點做點積。若結果$>0$（即夾角爲銳角），則該平面可見；反之不可見。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mn = 2005;
const double eps = 1e-10;
double Rand() {return rand() / (double) RAND_MAX;}
double reps() {return (Rand() - 0.5) * eps;}
struct point{
    double x, y, z;
    void shake() {x += reps(), y += reps(), z += reps();}
    double len() {return sqrt(x * x + y * y + z * z);}
    point operator -(const point b) const {return (point) {x - b.x, y - b.y, z - b.z};}
    point operator *(const point b) const {return (point) {y * b.z - b.y * z, z * b.x - b.z * x, x * b.y - b.x * y};}
    double operator&(const point b) const {return x * b.x + y * b.y + z * b.z;}
}p[mn];
struct surf{
    int v[3];
    point normal() {return (p[v[1]] - p[v[0]]) * (p[v[2]] - p[v[0]]);}
    double S() {return normal().len() / 2.0;}
}f[mn], c[mn];
int n, cnt, vis[mn][mn];
int check(surf f, point pp) {return ((pp - p[f.v[0]]) & f.normal()) > 0;}
inline void convey()
{
    f[++cnt] = (surf) {1, 2, 3}, f[++cnt] = (surf) {3, 2, 1};
    for(int i = 4, tmp = 0; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1, v; j <= cnt; j++)
        {
            if(!(v = check(f[j], p[i]))) c[++tmp] = f[j];
            for(int k = 0; k < 3; k++) vis[f[j].v[k]][f[j].v[(k + 1) % 3]] = v;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt; j++)
            for(int k = 0; k < 3; k++)
            {
                int x = f[j].v[k], y = f[j].v[(k + 1) % 3];
                if(vis[x][y] && !vis[y][x]) c[++tmp] = (surf) {x, y, i};
            }
        for(int j = 1; j <= tmp; j++) f[j] = c[j];
        cnt = tmp, tmp = 0;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y, &p[i].z), p[i].shake();
    convey(); double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[i].S();
    printf("%.6f\n", ans);
}