【學習筆記】拉格朗日插值法

已知這樣一個方程。
$\left \{ \begin{array}{c} f(1)= \large y_1 \\ f(2)= \large y_2 \\ f(3)= \large y_3 \\ \cdots \\ f(n)= \large y_n \end{array} \right.$
求$f(x)$的式子。

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首先由小奧知識知道，上面的這個方程可唯一確定一個n次多項式。然後就可以用高斯消元來搞了。
然而時間複雜度是$O(n^3)$的，在這裏你應該過不去（小常數選手、暴力碾標算選手等神仙可以在下方教♂導本萌新交流）。
於是我們開始介紹拉格朗日插值法。

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拉格朗日插值法可以將上面的那個方程組（稱作點值表達）轉化爲係數表達（即多項式）。
那麼這個插值的過程是怎樣的呢？
我們不妨重新定義$f(x)$：
$f(x)=\sum_{i=1}^nl_i(x_i)y_i \\ 其中l_i(x)=\prod_{j=1 \& j \neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
發現將$y_i,i \in [1,n]$代入這個式子都成立。
這就完了？

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好像真完了
那。。。接下來就貼代碼吧qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mn = 2005, mod = 998244353;
ll a[mn], x[mn], y[mn];
inline ll ksm(ll a, int b)
{
    if(a < 0) a += mod;
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            (ret *= a) %= mod;
        (a *= a) %= mod, b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> x[i] >> y[i];
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ll tmp = y[i];
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i != j)
                (tmp *= (k - x[j] + mod) % mod * ksm(x[i] - x[j], mod - 2) % mod) %= mod;
        (ans += tmp) %= mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}