CF1249F Maximum Weight Subset

CF1249F Maximum Weight Subset

題意

給出一個樹，每個點有權值

求最大權值子集，且子集任意一對點的距離大於$k$

---

思路

• 明顯的樹上 $dp$

• 令 $dp[i][j]$ 表示以 $i$ 爲根的子樹，最小深度爲 $j$ 的最大符合條件的子集

• 對於一個點，以 $1$ 爲根，以 $4$ 爲子樹爲根，顯然有兩種情況

  • 子集包含 $4$ 那麼只需要加上 $4$ 的每個子樹深度爲 $k$ 的最大子集即可

  • for (auto it : E[now]) {
        if (it == fa)
            continue;
        dp[now][0] += dp[it][k]; //與it距離爲k，與now距離k+1
    }
    

  • 若不取 $4$ 則需要枚舉深度爲 $j$ 的點所在的子樹，其他子樹上的子集與該點距離應大於 $k$

  • for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (auto it : E[now]) {//枚舉距離爲j的點
            if (it == fa)
                continue;
            int cnt = dp[it][i - 1];
            for (auto other : E[now]) {
                if (other == it || other == fa)
                    continue;
                cnt += dp[other][max(i - 1, k - i)];//至少距離爲i-1
            }
            dp[now][i] = max(dp[now][i], cnt);
        }
    }
    

• 複雜度

• 這個算法很容易估算爲 $O(n^4)$ ，但其實是 $O(n^3)$

• 因爲在算複雜度時，大家往往會忽略 $dfs$ 在枚舉子樹的過程是 $O(n)$ 的，因爲一棵樹是隻有$n-1$條邊

---

代碼

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 205;
int a[maxn];
vector<int> E[maxn];
int n, k;
int dp[maxn][maxn];
void dfs(int now, int fa)
{
    dp[now][0] = a[now];
    for (auto it : E[now]) {
        if (it == fa)
            continue;
        dfs(it, now);
    }
    for (auto it : E[now]) {
        if (it == fa)
            continue;
        dp[now][0] += dp[it][k];
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (auto it : E[now]) {
            if (it == fa)
                continue;
            int cnt = dp[it][i - 1];
            for (auto other : E[now]) {
                if (other == it || other == fa)
                    continue;
                cnt += dp[other][max(i - 1, k - i)];
            }
            dp[now][i] = max(dp[now][i], cnt);
        }
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        dp[now][i - 1] = max(dp[now][i - 1], dp[now][i]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    int u, v;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        E[u].push_back(v);
        E[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%d\n", dp[1][0]);
    return 0;
}

back(v);
E[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
printf("%d\n", dp[1][0]);
return 0;
}