6380. 【NOIP2019模擬2019.10.06】小w與最長路(path)

題目

題目大意

給你一棵樹，對於每一條邊，求刪去這條邊之後，再用一條邊（自己定）連接兩個連通塊，形成的樹的直徑最小是多少。

---

正解

首先，將這棵樹的直徑給找出來。顯然，如果刪去的邊不在直徑上，那麼答案就是直徑。
接下來考慮刪去的邊在直徑上的情況。
自己連的邊應該要是兩棵樹的直徑的中點（中點就是直徑上到端點最大距離最小的點）。
答案就是兩棵樹的直徑的一半（當然這是粗略的說法）加上邊權，和兩棵樹內部的直徑長度的最大值。
設直徑端點爲$S$和$T$，現在想象直徑是橫過來的一條線，有一堆樹掛在上面。
在直徑上從左到右枚舉刪去哪條邊，順帶着維護中點在哪裏。
有個結論：中點肯定在原來的直徑上。
（後面都以$S$的一邊爲例，顯然另一邊是一樣的）
反證法，設中點爲$x$，$x$不在直徑上。設$y$爲$x$到$S$路徑上第一個出現在直徑上的點。
現在找最遠的點$z$。
如果$z$在$y$子樹之外，那麼路徑就是$x$到$y$和$y$到$z$的距離。這時候如果要使$y$到$z$最大，則$z=S$。這時候將$x$變成$y$更優。
如果$z$在$x$子樹之內，那麼$x$到$z$的距離比$x$到$S$的距離長，與假設矛盾。
如果$z$在$y$子樹之內，在$x$子樹之外，那麼$y$到$z$的距離比$y$到$S$的距離長，矛盾。

接下來考慮如何維護直徑。
在原來的直徑上，對於每個節點，預處理出$f_x$表示$x$子樹中最遠點到$x$的長度。
設$disS_x$爲$x$到$S$的距離。
顯然，新的直徑的一個端點是$S$。直徑可以分成在原來直徑上和在某棵子樹內的兩段。
設$x$爲直徑的拐點，則直徑的長度爲$disS_x+f_x$
設$a$爲直徑的中點，則直徑一半的長度（形象的說法）爲$max(disS_a,disS_x+f_x-disS_a)$
現在被刪去的邊在原來的直徑上從左往右移動，每個拐點都能搞出一條路徑。在這些路徑中找長度最大的，作爲直徑，然後$a$移動到$max(disS_a,disS_x+f_x-disS_a)$最小的地方，這時候$a$就求出來了。
在這個過程中，我們發現$a$只會從$S$向$T$移動。
所以直接$O(n)$做就可以了（題解說要單調隊列，但實際上完全不用。具體見代碼。）

---

代碼

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 2000010
#define ll long long
int n;
struct EDGE{
	int to,w,num;
	EDGE *las;
} e[N*2],*last[N];
int ne;
unsigned long long num;
unsigned long long get(){
	num^=(num<<13);
	num^=(num>>17);
	num^=(num<<5);
	return num;
}
void gen(){
	int B,D;
	scanf("%d%llu%d%d",&n,&num,&B,&D);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int a=get()%min(i-1,B)+i-min(i-1,B),b=get()%D;
		e[ne]={a,b,i-1,last[i]};
		last[i]=e+ne++;
		e[ne]={i,b,i-1,last[a]};
		last[a]=e+ne++;
	}
}
ll ans[N];
int q[N];
ll ds[N],dt[N],alen;
int S,T,pre[N],suc[N];
EDGE *et[N];
void init(){
	static int vis[N];
	int BZ,h,t;
	vis[1]=BZ=1;
	q[h=t=1]=1;
	ll *dis=ds;
	dis[1]=0;
	while (h<=t){
		int x=q[h++],y;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (vis[y]!=BZ){
				vis[y]=BZ;
				dis[y]=dis[x]+ei->w;
				q[++t]=y;
			}
		}
	}
	S=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (dis[i]>dis[S])
			S=i;
	q[h=t=1]=S;
	vis[S]=++BZ;
	dis[S]=0;
	while (h<=t){
		int x=q[h++],y;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (vis[y]!=BZ){
				vis[y]=BZ;
				dis[y]=dis[x]+ei->w;
				pre[y]=x;
				et[y]=ei;
				q[++t]=y;
			}
		}
	}
	T=S;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (dis[i]>dis[T])
			T=i;
	for (int i=T;i!=S;i=pre[i])
		suc[pre[i]]=i;
	suc[T]=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (!suc[i] && i!=T)
			pre[i]=0;
}
ll f[N];
int fa[N];
void dp1(int rt){
	int h,t;
	q[h=t=1]=rt;
	fa[rt]=0;
	while (h<=t){
		int x=q[h++],y;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (y!=pre[rt] && y!=suc[rt] && y!=fa[x]){
				ans[ei->num]=alen;
				fa[y]=x;
				q[++t]=y;
			}
		}
	}
	for (int i=t;i>=1;--i){
		int x=q[i],y;
		f[x]=0;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (y!=pre[rt] && y!=suc[rt] && y!=fa[x])
				f[x]=max(f[x],f[y]+ei->w);
		}
	}
}
ll gs[N],gt[N];
void dp2(int rt,int *cant,ll *g){
	int h,t;
	q[h=t=1]=rt;
	fa[rt]=0;
	while (h<=t){
		int x=q[h++],y;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (y!=cant[x] && y!=fa[x]){
				fa[y]=x;
				q[++t]=y;
			}
		}
	}
	for (int i=t;i>=1;--i){
		int x=q[i],y;
		ll fmx=0,smx=0;
		f[x]=0;
		g[x]=0;
		for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
			y=ei->to;
			if (y!=cant[x] && y!=fa[x]){
				g[x]=max(g[x],g[y]);
				if (f[y]+ei->w>fmx)
					smx=fmx,fmx=f[y]+ei->w;
				else if (f[y]+ei->w>smx)
					smx=f[y]+ei->w;
			}
		}
		f[x]=fmx;
		g[x]=max(g[x],fmx+smx);
	}
}
ll hs[N],ht[N];
void calc(int beg,int end,int *nxt,ll *h,ll *dis){
	int a=beg,mx=beg;
	h[beg]=f[beg];
	for (int x=nxt[beg];x!=end;x=nxt[x]){
		if (dis[x]+f[x]>dis[mx]+f[mx]){
			mx=x;
			while (a!=x && max(dis[nxt[a]],dis[mx]+f[mx]-dis[nxt[a]])<max(dis[a],dis[mx]+f[mx]-dis[a]))
				a=nxt[a];
		}
		h[x]=max(dis[a],dis[mx]+f[mx]-dis[a]);
	}
}
int main(){
	freopen("path.in","r",stdin);
	freopen("path.out","w",stdout);
	gen();
	init();
	alen=ds[T];
	dp2(T,suc,gs),dp2(S,pre,gt);
	for (int i=S;i;i=suc[i])
		dt[i]=alen-ds[i],dp1(i);
	calc(S,T,suc,hs,ds);
	calc(T,S,pre,ht,dt);
	for (int i=S;i!=T;i=suc[i])
		ans[et[suc[i]]->num]=max(max(gs[i],gt[suc[i]]),hs[i]+ht[suc[i]]+et[suc[i]]->w);
	ll s=0;
	for (int i=1;i<n;++i)
		s^=ans[i]%998244353*i%998244353;
	printf("%lld\n",s);
	return 0;
}

---

總結

論猜結論的重要性……