二重揹包問題

二重揹包問題

最近刷面經，看見一個二重揹包問題，看着百度寥寥無幾，而且生澀的公式，對於我這樣看數學公式就頭疼的傢伙，真是不幸。

還好想起了前段時間在看的《算法圖解》，喜中往外，怎麼會有這樣一本神作，不偏不倚，是入門算法的福音。

https://book.douban.com/subject/26979890/

首先來看一個簡單的案例

問題1描述

假設你是個小偷，揹着一個可裝4磅東西的揹包。

你可盜竊的商品有如下3件。

爲了讓盜竊的商品價值最高，你該選擇哪些商品？

思路

如果確實還沒想到最好的解決辦法，反正商品也不多，可以排列組合，找到價值最大的方法，但是畢竟只能應付少量商品的組合，否則就會很麻煩，到底有沒有一個通用的方法可以套用呢？有的，使用動態規劃！

1. 首先將揹包容量切分，並試着將第一個商品以最大價值的方式填充
   
   以第一行爲例，因爲當前能填充的商品只有吉他，所以在滿足揹包大小情況下，最大價值爲1500

2. 在填充第二個商品時，情況就相對複雜
   
   ​ 音響有4磅，在1,2,3磅揹包中放不下，所有最大價值商品還是吉他
   
   ​ 當揹包容量爲4磅時，終於可以放得下音響，因爲音響比吉他之前，所以目前最大價值爲3000

3. 第三件商品的填充
   
   揹包爲3磅時，最大價值爲2000
   
   最後一個4磅揹包到底怎麼最大化價值呢？這就用到了二重揹包最重要的思想，到底是音響價值大，還是筆記本和剩餘1磅空間的物品。

   我們可以取上一行中1磅揹包的物品與之，2000+1500>3000
   

4. 綜上，網格中第i行第j列可以裝的最大價值商品爲上一個單元格（第i-1行第j列）和當前商品價值和剩餘空間最大價值（第i-1行第j-當前商品體積列）
   

代碼（PHP）

    // 簡單揹包問題，每個商品數目爲1
    function doubleKnapsack1()
    {
        echo "請輸入物品數目:";

        $N = fgets(STDIN);

        echo "請輸入揹包體積:";

        $T = fgets(STDIN);

        $W = array(); //物品體積
        $V = array(); //物品價值
        $value = array(); //用於放置最大價值

        for ($i = 0; $i < $N; $i++) {
            $temp = fgets(STDIN);
            list($W[], $V[]) = explode(' ', $temp);
        }

        unset($temp, $i);

		// 依次遍歷商品
        for ($i = 0; $i < $N; $i++) {
            // 逐漸增加揹包體積
            for ($j = 0; $j <= $T; $j++) {
                if (0 == $i) {
                    if ($W[$i] <= $j) {
                        $value[$i][$j] = $V[$i]; // 將此時能夠容納商品最大價值存入
                    } else {
                        $value[$i][$j] = 0; // 當不滿足時候，給格子賦值0
                    }
                } else {
                    // 判斷是否有剩餘揹包空間
                    if (0 <= $j - $W[$i]) {
                        $value[$i][$j] = max($value[$i - 1][$j], $V[$i] + $value[$i - 1][$j - $W[$i]]);
                        continue;
                    }
                    $value[$i][$j] = $value[$i - 1][$j];
                }
            }
        }
        print_r($value);
        echo "揹包最大能夠裝價值爲 " . $value[(int)$N - 1][(int)$T] . " 的商品\n";
    }

讀者肯定在想，我去，老子直接看書不就行了，講得囉裏囉嗦的。別，這只是前半部分！

問題2描述

N個物品，每個物品都有恰好兩個。第I種物品的體積和價值分別是WI 和VI。

揹包的體積爲T，問在不超過揹包體積的情況下，最多能放進多少價值的物品。

思路

因爲出現了兩個物品的概念，例如在問題1中吉他行最大價值應該是

商品\揹包容量	1	2	3	4
吉他	1500	3000	3000	3000

這就引發了可能存着兩個相同商品價值更多問題

不着急，我們接着分析

1. 大體思想還是問題1的二重揹包，只不過多了一個商品數量
2. 在計算該行最大價值時候，多一次循環，在處理商品數量爲$k=1時，按着原思路，第二次循環時，帶入權重$k=2，分別在首行計算和剩餘空間揹包價值計算中，其中肯定存着第二次循環覆蓋第一次結果的情況，此時應該做取最大值運算

代碼

	// 現在每個商品數目爲2
    function doubleKnapsack2()
    {
        echo "請輸入物品數目:";

        $N = fgets(STDIN);

        echo "請輸入揹包體積:";

        $T = fgets(STDIN);

        $num = 2; //每個商品數目
        $W = array(); //物品體積
        $V = array(); //物品價值
        $value = array(); //用於放置最大價值

        for ($i = 0; $i < $N; $i++) {
            $temp = fgets(STDIN);
            list($W[], $V[]) = explode(' ', $temp);
        }

        unset($temp, $i);

        // 依次遍歷商品
        for ($i = 0; $i < $N; $i++) {
            // 逐漸增加揹包體積
            for ($j = 0; $j <= $T; $j++) {
                // 增加商品數目循環，查找最大價值
                for ($k = 1; $k <= $num; $k++) {
                    if (0 == $i) {
                        if ($W[$i] * $k <= $j) {
                            $value[$i][$j] = $V[$i] * $k; // 將此時能夠容納商品最大價值存入
                        } else {
                            $value[$i][$j] = isset($value[$i][$j]) ? max($value[$i][$j], 0) : 0; // 當不滿足時候，給格子賦值0
                        }
                    } else {
                        // 判斷是否有剩餘揹包空間
                        if (0 <= $j - $W[$i] * $k) {
                            $value[$i][$j] = max($value[$i - 1][$j], $V[$i] * $k + $value[$i - 1][$j - $W[$i] * $k]);
                            continue;
                        }
                        $value[$i][$j] = $value[$i - 1][$j];
                    }
                }
            }
        }
        print_r($value);
        echo "揹包最大能夠裝價值爲 " . $value[(int)$N - 1][(int)$T] . " 的商品\n";
    }

到現在爲止，在商品數量再有變化的情況下，相信很多小夥伴都可以舉一反三。

本人現在還是一個沒有找到工作的小白，希望能夠在剩下時間裏每天積累一些東西。--20191027