LeetCode刷題筆記(四）兩個排序數組的中位數

原創

鱼机

2020-02-20 13:59

題目：給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2 。

請找出這兩個有序數組的中位數。要求算法的時間複雜度爲 O(log (m+n)) 。

示例1：

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

中位數是 2.0

示例2：

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

解法1:如果不考慮題目要求的時間複雜度，只需要遍歷兩個數組合成一個數組就可以得出中位數。

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;         //獲取數組1的長度          
        int n = nums2.length;         //數組2的長度
        int length = m + n;           //合併數組的長度
        int[] result = new int[length];      //合併的結果數組
        for(int i = length-1;i>=0;i--){      //循環length-1次
             int num1 = m-1>=0?nums1[m-1]:Integer.MIN_VALUE;       //索引大於0時獲取對應的值，否則賦值最小值  
             int num2 = n-1>=0?nums2[n-1]:Integer.MIN_VALUE;
             if(num1>num2){
                 result[i] = num1;                                //把數值更大的數賦值到結果數組對應位置，
                 m--;                                             //索引減一
             }else {
                 result[i] = num2;
                 n--;
             }
        }
        return (result[length/2]+result[(length-1)/2])/2.0;      //返回中位數
    }
}

就是把兩個數組倒序遍歷，比較後依次放入結果數組裏面，獲取一個有序的總的數組，然後返回中位數，就是取中間兩個數的平均數。

時間複雜度：O(m+n)

空間複雜度：O(m+n)

解法2：題目要求O(log(m+n))的時間複雜度，一般來說都是分治法或者二分搜索。首先我們先分析下題目，假設兩個有序序列共有n個元素（根據中位數的定義我們要分兩種情況考慮），當n爲奇數時，搜尋第(n/2+1)個元素，當n爲偶數時，搜尋第(n/2+1)和第(n/2)個元素，然後取他們的均值。

假設序列都是從小到大排列，對於第一個序列中前p個元素和第二個序列中前q個元素，我們想要的最終結果是：p+q等於k-1,且一序列第p個元素和二序列第q個元素都小於總序列第k個元素。因爲總序列中，必然有k-1個元素小於等於第k個元素。這樣第p+1個元素或者第q+1個元素就是我們要找的第k個元素。
所以，我們可以通過二分法將問題規模縮小，假設p=k/2-1，則q=k-p-1，且p+q=k-1。如果第一個序列第p個元素小於第二個序列第q個元素，我們不確定二序列第q個元素是大了還是小了，但一序列的前p個元素肯定都小於目標，所以我們將第一個序列前p個元素全部拋棄，形成一個較短的新序列。然後，用新序列替代原先的第一個序列，再找其中的第k-p個元素（因爲我們已經排除了p個元素，k需要更新爲k-p），依次遞歸。同理，如果第一個序列第p個元素大於第二個序列第q個元素，我們則拋棄第二個序列的前q個元素。遞歸的終止條件有如下幾種：
1、較短序列所有元素都被拋棄，則返回較長序列的第k個元素（在數組中下標是k-1）
2、一序列第p個元素等於二序列第q個元素，此時總序列第p+q=k-1個元素的後一個元素，也就是總序列的第k個元素

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int k = (m + n) / 2;
        if((m+n)%2==0){
            return (findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k)+findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1))/2;
        }   else {
            return findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1);
        }
        
    } 
    private double findKth(int[] arr1, int[] arr2, int start1, int start2, int len1, int len2, int k){
        // 保證arr1是較短的數組
        if(len1>len2){
            return findKth(arr2,arr1,start2,start1,len2,len1,k);
        }
        if(len1==0){
            return arr2[start2 + k - 1];
        }
        if(k==1){
            return Math.min(arr1[start1],arr2[start2]);
        }
        int p1 = Math.min(k/2,len1) ;
        int p2 = k - p1;
        if(arr1[start1 + p1-1]<arr2[start2 + p2-1]){
            return findKth(arr1,arr2,start1 + p1,start2,len1-p1,len2,k-p1);
        } else if(arr1[start1 + p1-1]>arr2[start2 + p2-1]){
            return findKth(arr1,arr2,start1,start2 + p2,len1,len2-p2,k-p2);
        } else {
            return arr1[start1 + p1-1];
        }
    }
}