這題怎麼沒人用矩乘啊
首先可以發現,這題的 \(k\) ,也就是褻瀆使用次數爲 \(m+1\) ，然後給出的 \(a_i\) 又會把 \([1,n]\) 劃分成至多 \(m+1\) 個連續段。所以對每次褻瀆，一個段 \([l,r]\) 給答案加上 \(\sum_{i=l}^r i^k\) ，並且所有連續段整體 \(-1\) ；此外如果某次褻瀆後左端點最小的段的左端點爲 \(0\) ，記它的右端點爲 \(r_1\) ，那麼會刪掉這個段，並且其他段整體 \(-r_1\)。
那麼我們模擬上述過程，然後每次對段操作前統計 \(\sum_{i=l}^r i^k\) 即可。考慮矩乘求這個東西，先把他拆成 \(\sum_{i=1}^r i^k-\sum_{i=1}^{l-1} i^k\) ，然後我們構造行向量 \(\vec{a}=\{x^0,x^1,x^2...x^{m+1},s\}\) ，即維護當前 \(i\) 的 \(0\) 到 \(m+1\) 次冪和答案，構造轉移矩陣 \(M\) 就考慮 \((i+1)^k=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}i^j\) ，所以可以得到
- \(\forall 0\le i,j\le m+1,M_{i,j}=\binom{j}{i}\)
- \(M_{m+2,m+2}=1\)
- \(\forall 0\le i\le m+1,M_{i,m+2}=\binom{m+1}{i}\)
\(\vec{a}M^{n}\) 的第 \(m+2\) 項就是 \(\sum i^k\) 。不過注意到要做 \(m^2\) 次這樣的求值，所以複雜度爲 \(O(Tm^5logn)\)。
現在考慮倒着模擬褻瀆的過程，可以發現相當於是要維護一個行向量集合，每次操作先給所有行向量乘上 \(M\) ，然後加入一個初始行向量 \(\{1,0,0...\}\) ，再給所有行向量乘 \(M^b\) (其中 \(b\) 這次褻瀆刪掉的段的右端點值)接着加入一個行向量 \(\{-1,0,0...\}\)，最後把所有行向量的第 \(m+2\) 項加入答案。由於矩陣乘法具有分配律，所以可以直接維護所有行向量的和，然後進行一些矩陣加法和乘法即可做到 \(O(Tm^4logn)\) 。注意到我們矩乘做的是行向量乘矩陣，所以單次矩乘可以 \(O(m^2)\) ，然後我們再把轉移矩陣的 \(2^k\) 次冪預處理出來，就可以做到 \(O(Tm^3logn)\)。
大 力 出 奇 跡
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=53,mod=1e9+7;
const LL inf=8e18;
LL rd()
{
LL x=0,w=1;char ch=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
return x*w;
}
LL n,b[N],hp[N][2];
int m=51,t,p;
struct matrix
{
int a[N][N];
matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
void clr(){memset(a,0,sizeof(a));}
matrix operator + (const matrix &bb) const
{
matrix an;
for(int i=0;i<=m+1;++i)
for(int j=0;j<=m+1;++j)
an.a[i][j]=(a[i][j]+bb.a[i][j])%mod;
return an;
}
matrix operator * (const matrix &bb) const
{
matrix an;
for(int i=0;i<=m+1;++i)
for(int j=0;j<=m+1;++j)
{
LL nw=0;
for(int k=0;k<=m+1;++k)
{
nw+=1ll*a[i][k]*bb.a[k][j];
if(nw>inf) nw%=mod;
}
an.a[i][j]=nw%mod;
}
return an;
}
matrix operator & (const matrix &bb) const
{
matrix an;
for(int j=0;j<=m+1;++j)
{
LL nw=0;
for(int k=0;k<=m+1;++k)
{
nw+=1ll*a[0][k]*bb.a[k][j];
if(nw>inf) nw%=mod;
}
an.a[0][j]=nw%mod;
}
return an;
}
}aa,m1,bb[N][N];
int c[N][N];
void inii(int h)
{
for(int i=0;i<=h;++i)
for(int j=0;j<=h;++j)
bb[h][0].a[j][i]=c[i][j];
bb[h][0].a[h+1][h+1]=1;
for(int j=0;j<=h;++j)
bb[h][0].a[j][h+1]=c[h][j];
for(int i=1;i<N;++i) bb[h][i]=bb[h][i-1]*bb[h][i-1];
}
int main()
{
for(int i=0;i<N;++i)
{
c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
aa.a[0][0]=1;
int T=rd();
while(T--)
{
n=rd(),m=rd();
b[0]=0;
for(int i=1;i<=m;++i) b[i]=rd();
sort(b+1,b+m+1),m=unique(b+1,b+m+1)-b;
while(m>1&&b[m-1]==n) --m,--n;
if(!bb[m][0].a[0][0]) inii(m);
b[m]=n+1,t=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
if(b[i]==b[i-1]+1) continue;
hp[++t][0]=b[i-1]+1,hp[t][1]=b[i]-b[i-1]-1;
}
p=0;
while(t)
{
b[++p]=0;
for(int i=1;i<=t;++i) --hp[i][0];
if(!hp[1][0])
{
b[p]=hp[1][1];
for(int i=2;i<=t;++i) hp[i][0]-=hp[1][1];
for(int i=2;i<=t;++i) hp[i-1][0]=hp[i][0],hp[i-1][1]=hp[i][1];
--t;
}
}
m1.clr();
int ans=0;
while(p)
{
m1=m1*bb[m][0];
if(b[p])
{
m1.a[0][0]=(m1.a[0][0]+1)%mod;
for(int i=0;b[p];++i,b[p]>>=1)
if(b[p]&1) m1=m1&bb[m][i];
m1.a[0][0]=(m1.a[0][0]-1+mod)%mod;
}
ans=(ans+m1.a[0][m+1])%mod;
--p;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}