劍指Offer對答如流系列 - 和爲s的數字

面試題57：和爲s的數字

一、題目描述

問題（1）和爲s的兩個數字
輸入一個遞增排序的數組和一個數字s，在數組中查找兩個數，使得它們的和正好是s。如果有多對數字的和等於s，輸出任意一對即可。

問題（2）爲s的連續正數序列
輸入一個正數s，打印出所有和爲s的連續正數序列（至少含有兩個數）。例如輸入15，由於1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以結果打印出3個連續序列1～5、4～6和7～8。

二、問題分析

問題（1）
考慮到數列遞增，我們設置兩個頭尾兩個索引i和j，

1. 若ai + aj == sum，就是答案（相差越遠乘積越小）
2. 若ai + aj > sum，aj肯定不是答案之一（前面已得出 i 前面的數已是不可能），j -= 1
3. 若ai + aj < sum，ai肯定不是答案之一（前面已得出 j 後面的數已是不可能），i += 1

由於是從兩邊往中間移動，所以不會有跳過的情況，時間複雜度爲O(n)。

問題（2）
順着問題（1）的思路來就是

1. 當從i到j的序列的和小於sum時，增加j，使序列包含更多數字；（記得更新序列之和）
2. 當從i到j的序列的和大於sum時，減少i，使序列去掉較小的數字；（記得更新序列之和）
3. 當從i到j的序列的和等於sum時，此時得到一個滿足題目要求的序列，輸出，然後繼續將i增大，往後面找新的序列。

序列要求最少兩個數字，因此，當i到了sum/2時，就可以結束了。

不過，問題（2）也可以不借鑑問題（1）的思路，採用數學分析法

對於一個長度爲n的連續序列，如果它們的和等於s，有：

1. 當n爲奇數時，s/n恰好是連續序列最中間的數字，即n滿足 (n&1)==1 && s%n==0
2. 當n爲偶數時，s/n恰好是連續序列中間兩個數字的平均值，小數部分爲0.5，即n滿足 (s%n)*2==n （判斷條件中包含了n爲偶數的判斷）

得到滿足條件的n後，相當於得到了序列的中間數字s/n，所以可以得到第一個數字爲 (s / n) - (n - 1) / 2，結合長度n可以得到所有數字。

此外，要考慮在什麼範圍內找n： 我們知道n至少等於2，那至多等於多少？n最大時，序列從1開始，根據等差數列的求和公式根據等差數列的求和公式：S = (1 + n) * n / 2，可以得到n應該小於sqrt(2s)，所以只需要從n=2到sqrt(2s)來判斷滿足條件的n，繼而輸出序列。

三、問題解答

問題（1）

    public ArrayList<Integer> FindNumbersWithSum(int [] array, int sum) {
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        if(array==null || array.length<=0) {
            return list;
        }
        int low=0;
        int high=array.length-1;
        while(low<high){
            if(array[low]+array[high]==sum){
                list.add(array[low]);
                list.add(array[high]);
                break;
            } else if(array[low]+array[high]<sum) {
                low++;
            } else {
                high--;
            }
        }
        return list;
    }

問題（2）
思路一：

	 public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer> > sequenceList = new ArrayList<ArrayList<Integer> >();
        if(sum<=0) {
            return sequenceList;
        }
        
        int small = 1;
        int big = 2;
        int curSum = small+big;
        while(small <= sum/2){
            if(curSum == sum){
                ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();
                for(int i=small;i<=big;i++) {
                    sequence.add(i);
                }
                sequenceList.add(sequence);
                curSum-=small;
                small++; //這兩行位置先後要注意
            }
            if(curSum < sum){
                big++;
                curSum+=big;
            }
            if(curSum > sum){
                curSum-=small;
                small++;
            }
        }
        return sequenceList;
    }

思路二：

   public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer> > sequenceList = new ArrayList<ArrayList<Integer> >();
        if(sum<=0) {
            return sequenceList;
        }
        
        for(int n=(int) Math.sqrt(2*sum); n>=2; n--){
            if(((n&1)==1 && sum%n==0) || ((n&1)==0 && (sum%n)*2==n)){
                ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();
                for (int j = 0, k = (sum / n) - (n - 1) / 2; j < n; j++, k++) {
                    sequence.add(k);
                }
                sequenceList.add(sequence);
            }
        }
        return sequenceList;
    }