POJ 1006: 中國剩餘定理

問題描述

 人自出生起就有體力，情感和智力三個生理週期，分別爲23，28和33天。一個週期內有一天爲峯值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個週期的峯值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峯值的日期。然後再給出一個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天后三個峯值同時出現。

問題分析

  首先我們要知道，任意兩個峯值之間一定相距整數倍的週期。假設一年的第N天達到峯值，則下次達到峯值的時間爲N+Tk(T是週期，k是任意正整數)。所以，三個峯值同時出現的那一天(S)應滿足

  S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3

N1,N2,N3分別爲爲體力，情感，智力出現峯值的日期,T1,T2,T3分別爲體力，情感，智力週期。我們需要求出k1,k2,k3三個非負整數使上面的等式成立。

 想直接求出k1,k2,k3貌似很難，但是我們的目的是求出S， 可以考慮從結果逆推。根據上面的等式，S滿足三個要求：除以T1餘數爲N1，除以T2餘數爲N2，除以T3餘數爲N3。這樣我們就把問題轉化爲求一個最小數，該數除以T1餘N1，除以T2餘N2,除以T3餘N3。這就是著名的中國剩餘定理，我們的老祖宗在幾千年前已經對這個問題想出了一個精妙的解法。依據此解法的算法，時間複雜度可達到O(1)。下面就介紹一下中國剩餘定理。

中國剩餘定理介紹

 在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱爲“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱爲“中國剩餘定理”。具體解法分三步：

找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
用15乘以2（2爲最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3爲最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2爲最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即2335=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。

就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？

中國剩餘定理分析

 我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。

 首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

 有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？

 這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k爲非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的餘數爲c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。

 以此定理爲依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推導出以下三點：

爲使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
爲使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
爲使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

因此，爲使n1+n2+n3的和作爲“孫子問題”的一個最終解，需滿足：
n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1爲例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。

這裏又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數爲c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數爲kc。展開式中已證明。

最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）5就是最終的最小解。

同樣，這道題也應該是：

n1除以23餘p，且是28和33的公倍數。
n2除以28餘e，且是23和33的公倍數。
n3除以33餘i，且是23和28的公倍數。

使33×28被23除餘1，用33×28×8=5544；
使23×33被28除餘1，用23×33×19=14421；
使23×28被33除餘1，用23×28×2=1288。
（5544×p+14421×e+1288×i）%（23×28×33）=n+d
n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%（23×28×33）

代碼：

#include <iostream>

#include <stdio.h>

using namespace std;



int main()

{

    int p,e,i,d,case_n = 0;

    __int64 day;

    while (scanf("%d %d %d %d",&p,&e,&i,&d) != EOF)

    {

        case_n++;

        if (p == -1 && e ==-1 && i ==-1 && d == -1)break;

        p %= 23; e %= 28; i %= 33;

        day = (21252 + 5544*p + 14421*e + 1288*i - d)!252;

        if (day == 0) day = 21252;

        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n",case_n,day);

    }

    return 0;

}