開平方的算法(轉)

 

本算法只採用移位、加減法、判斷和循環實現，因爲它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種芯片上去。

我們先來看看10進制下是如何手工計算開方的。
先看下面兩個算式，

x = 10*p + q  (1)

公式(1)左右平方之後得：

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)

現在假設我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。
我們把公式(2)改寫爲如下格式：

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方

首先我們把這個數兩位兩位一組分開，計算出最高位爲3。也就是(3)中的p，最下面一行的334爲餘數，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

3
---------------
| 12 34 56 78 90
9
---------------
| 3 34

下面我們要找到一個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

3 q
---------------
| 12 34 56 78 90
9
---------------
6q| 3 34

我們看到q爲5時(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。於是我們得到：

3 5
---------------
| 12 34 56 78 90
9
---------------
65| 3 34
| 3 25
---------------
9 56

接下來就是重複上面的步驟了，這裏就不再囉嗦了。

這個手工算法其實和10進制關係不大，因此我們可以很容易的把它改爲二進制，改爲二進制之後，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我們來看一個例子，計算100(二進制1100100)的開方：

1 0 1 0
---------------
| 1 10 01 00
1
---------------
100| 0 10 
| 0 00 
---------------
| 10 01
1001| 10 01
---------------
0 00

這裏每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由於q的值只能爲0或者1，所以我們只需要判斷餘數(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關係，如果餘數大於等於(4*p+q)那麼該上一個1，否則該上一個0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之後的餘數，divisor表示(4*p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當於4*p。程序完全是按照手工計算改寫的，應該不難理解。

unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; i++){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}