LeetCode-62、63：Unique Paths (矩陣中獨一無二的路徑)

題目62：Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

問題解析：

在一個矩陣中，從左上角開始，每一步只能向下移動一步或者向右移動一步，到右下角停止，總共有多少種不同的路徑？

鏈接：

• https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/

思路標籤：

算法：DP

數據結構：Vector

解答：

1. C++

• 典型的動態規劃題目；
• 定義m*n的矩陣，arr[i][j]表示到達第i行第j列的位置時有多少種不同的路徑；
• 因爲只能向下或者向右移動，所以很明顯arr[i][j]=arr[i-1][j] + arr[i][j-1]；
• 構建二維數組即可解決，但是空間複雜度爲O(m*n)；
• 簡化重複子問題，我們每次只用到上一步的前一個結果和上一步的當前結果，所以用一個數組表示即可。arr[i] = arr[i] + arr[i-1]。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m > n)
            return uniquePaths(n, m);
        vector<int > result(m, 1);
        for(int i=1; i<n; ++i){
            for(int j=1; j<m; ++j)
                result[j] += result[j-1];
        }

        return result[m-1];
    }
};

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題目63：Unique Paths II

Follow up for “Unique Paths”:

Now consider if some obstacles are added to the grids. How many unique paths would there be?

An obstacle and empty space is marked as 1 and 0 respectively in the grid.

例子：

For example,

There is one obstacle in the middle of a 3x3 grid as illustrated below.

[
  [0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]

The total number of unique paths is 2.

Note:

• m and n will be at most 100.

問題解析：

題目在62的基礎上爲網格中增加限制障礙塊，有障礙的位置不能走。

鏈接：

• https://leetcode.com/problems/unique-paths-ii/description/

思路標籤：

算法：DP

數據結構：Vector

解答：

1. 使用二維數組的動態規劃：

• 與62動態規劃思想是相同的
• 不同的是因爲存在障礙塊，所以並不是所有的路徑都能走通，所以我們將動態規劃的數組全部置爲0，大小爲左和上各增加一行0行，以便進行計算；
• 因爲開始在起始位置，所以dp[0][1] = 1，或者dp[1][0] = 1；
• 在有障礙塊，也就是位置不爲0的地方，不進行dp矩陣的計算，也就是相應位置保持爲0。
• 空間複雜度O(n*m)

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector <int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        dp[0][1] = 1;
        for(int i=1; i<=m; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                if(!obstacleGrid[i-1][j-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};

2. 使用一維數組的動態規劃：

• 與62動態規劃思想相同的
• 上面的解法同樣存在着重複的子問題，所以我們使用一維數組進行簡化；
• 但是不同的是，我們需要在過程中判斷該位置的計算是否是障礙，如果是障礙，那麼此時數組該位置的值變爲0，否則爲上一個值加前一個當前值。
• 空間複雜度：O(m)

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vector<int > dp(m+1, 0);
        dp[1] = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=m; j++){
                if(obstacleGrid[j-1][i-1])
                    dp[j] = 0;
                else
                    dp[j] += dp[j-1];
            }
        }

        return dp[m];
    }
};