車輛控制-穩態誤差分析-前饋

概述

由於狀態反饋下的閉環橫向控制系統仍然存在穩態誤差，本文主要分析穩態誤差產生的原因，並嘗試使用前饋項將穩態誤差減小爲0。

前饋

根據狀態反饋下的狀態空間模型
$\dot{x} = (A - B_1K)x + B_2\dot{\psi}_{des} \tag{1}$
由於$B_2\dot{\psi}_{des}$項的存在，當車輛在圓弧路面上行駛，即使矩陣$(A - B_1K)$穩定，跟蹤誤差也無法達到0。下面探討在弧線上時，添加到狀態反饋中的前饋項是否對零狀態誤差有效。
假設轉向控制由狀態反饋加上一個嘗試修正道路曲率的前饋項。
$\delta = -Kx + \delta_{ff} \tag{2}$
閉環控制系統如下：
$\dot{x} = (A - B_1K)x + B_1\delta_{ff} + B_2\dot{\psi}_{des} \tag{3}$

拉普拉斯變換

對等式(3)使用拉普拉斯變換(Laplace Transforms)，詳見拉普拉斯變換-常微分方程，並假設初始狀態爲0，結果如下：
$X(s) = [sI-(A - B_1K)]^{-1}\{B_1L(\delta_{ff})+B_2L(\dot{\psi_{des}}) \} \tag{4}$
其中$L(\delta_{ff})$和$L(\dot{\psi_{des}})$是$\delta_{ff}$和$\dot{\psi_{des}}$相應的拉普拉斯變換。

• 如果車輛以恆定速度$V_x$行駛，且道路的曲率半徑爲$R$,則目標偏航角速度恆定爲
  $\dot{\psi}_{des} = \frac{V_x}{R} \tag{5}$
  根據等式(5)，對應的拉普拉斯變換可以表述爲
  $L(\dot{\psi}_{des}) = \frac{V_x}{Rs} \tag{6}$
• 同理，如果前饋項$\delta_{ff}$恆定，則對應的拉普拉斯變換爲
  $L(\delta_{ff}) = \frac{\delta_{ff}}{s} \tag{7}$
  將等式(6)和(7)帶入等式(4)中得
  $X(s) = [sI-(A - B_1K)]^{-1}(B_1\frac{\delta_{ff}}{s}+ B_2\frac{V_x}{Rs}) \tag{8}$

穩態跟蹤誤差

穩態跟蹤誤差可以表示爲$x(t)$中，$t \to\infty$時的數值，根據終值定理得
$x_{ss} = \lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s) \tag{9}$
將等式(8)帶入等式(9)得
$x_{ss} =\lim_{s\to0}sX(s) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ =\lim_{s\to0}[sI-(A - B_1K)]^{-1}(B_1\delta_{ff}+B_2\frac{V_x}{R})\\ =-(A - B_1K)^{-1}(B_1\delta_{ff}+B_2\frac{V_x}{R})\qquad\quad\tag{10}$

使用符號工具箱對等式(10)進行化簡，這裏使用Python的Sympy軟件庫進行化簡得
$x_{ss} = \left[\begin{matrix}\dfrac{\left(2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} l_{f} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} l_{r} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} k_{3} l_{f} l_{r} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} k_{3} l_{r}^{2} - 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{f}^{2} - 4 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{r}^{2} - C_{\alpha f} V_{x}^{2} k_{3} l_{f} m + C_{\alpha f} V_{x}^{2} l_{f} m - C_{\alpha r} V_{x}^{2} l_{r} m\right)}{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\\0\\\dfrac{1}{2 C_{\alpha r} R \left(l_{f} + l_{r}\right)} \left(- 2 C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha r} l_{r}^{2} + V_{x}^{2} l_{f} m\right)\\0\end{matrix}\right] \tag{11}$
由等式(11)知，穩定狀態下的橫向誤差$e_y$爲
$e_{y\_ss}= \frac{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} (l_{f} + l_{r}) + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r}( k_{3} l_{f} l_{r} + k_{3} l_{r}^{2} - l_{f}^{2} - 2 l_{f} l_{r} - l_{r}^{2}) - V_{x}^{2}m(C_{\alpha f} k_{3} l_{f} - C_{\alpha f} l_{f} + C_{\alpha r} l_{r} )}{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)} \tag{12}$
等式(12)提取$\delta_{ff}$項，並化簡得
$e_{y\_ss}= \frac{\delta_{ff}}{k_1} - \frac{ (l_{f}+l_{r})-k_{3}l_{r}}{R k_{1}} - \frac{V_{x}^{2}m}{2 R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{13}$
同理，穩定下的偏航角誤差$e_{\psi}$爲
$e_{\psi\_ss} = \frac{- 2 C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha r} l_{r}^{2} + V_{x}^{2} l_{f} m}{2 C_{\alpha r} R \left(l_{f} + l_{r}\right)} \tag{14}$
等式(14)化簡得
$e_{\psi\_ss} = -\frac{l_r}{R} + \frac{ l_{f} }{2 C_{\alpha r} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\frac{ mV_{x}^{2}}{R} \tag{15}$
由等式(13)可知，當選擇合適的$\delta_{ff}$時，可以使橫向誤差$e_y$爲0。但是$\delta_{ff}$並不能影響穩定狀態下的偏航誤差。偏航角誤差的狀態穩定項，無論前饋轉向角如何選擇也無法別修正。

前饋轉向角

當前饋轉向角選擇如下時，穩定狀態下的橫向誤差$e_{y\_ss}$可爲0。
$\delta_{ff} = \frac{ (l_{f}+l_{r})-k_{3}l_{r}}{R} + \frac{mV_{x}^{2}}{2 R \left(l_{f} + l_{r}\right)}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{16}$
由於$L=l_f + l_r$知，等式(16)可化簡爲
$\delta_{ff} = \frac{ L}{R} - \frac{ k_{3}l_{r}}{R} + \frac{mV_{x}^{2}}{2 R L}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{17}$
進一步觀察等式(17)得
$\delta_{ff} = \frac{ L}{R} + k_{3}(-\frac{ l_{r}}{R} +\frac{l_f}{2C_{\alpha r}L}\frac{m{V_{x}}^{2}}{ R })+ \frac{{V_{x}}^{2}}{R }( \frac{ml_r}{2 C_{\alpha f}L} -\frac{ml_f}{2 C_{\alpha r}L}) \tag{18}$

• 其中 $K_V = \dfrac{ml_r}{2 C_{\alpha f}L} -\dfrac{ml_f}{2 C_{\alpha r}L}$表示轉向不足增益，$a_y = \dfrac{{V_x}^2}{R}$表示車倆行駛過程中產生的向心加速度。
• 另外使用$m_f = m\dfrac{l_r}{L}$表示前軸所承受的部分車的質量，$m_r= m\dfrac{l_f}{L}$表示後軸所承受的部分車的質量，轉向不足增益係數$K_V$可以表示爲$K_V=\dfrac{m_f}{2C_{\alpha f}}-\dfrac{m_r}{2C_{\alpha r}}$。
  結合等式(15)，等式(18)最終可以表示爲
  $\delta_{ff} =\frac{ L}{R} +k_{3}e_{\psi\_ss}+ K_Va_y \tag{19}$

穩態轉向角

根據穩定狀態下的轉向角爲
$\delta_{ss} = \delta_{ff} - Kx_{ss} \tag{20}$
由於穩定狀態下$x_{ss}$中，只有$e_{\psi\_ss}$不爲0，故
$Kx_{ss} = \begin{bmatrix} k1 & k2 & k3 & k4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ e_{\psi\_ss}\\ 0 \end{bmatrix}=k_3e_{\psi\_ss} \tag{21}$
故將等式(21)和(19)帶入(20)得
$\delta_{ss} = \frac{ L}{R} + K_Va_y \tag{22}$

總結

通過上述分析得，選取合適的前饋轉向角$\delta_{ff}$可以使橫向位置誤差$e_y$達到0。但是穩定狀態下的偏航角始終等於$e_{\psi\_ss}=-\dfrac{l_r}{R} + \dfrac{ l_{f} }{2 C_{\alpha r} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\dfrac{ mV_{x}^{2}}{R}$，且無法通過前饋轉向角改變。