今天上午看了篇博文，這篇博文是對另一篇博文的總結，兩篇博文都是在討論一個算法——尋找最小的K的數，感覺兩篇文章寫得都很不錯，值得借鑑和學習，所以做了一個自我的一個小總結，兩篇博文的連接如下：
http://blog.csdn.net/huagong_adu/article/details/6901924
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6370650
我主要就看了第一篇博文，第一篇博文也是在第二篇博文的基礎上總結的。
算法的題目：如何在一堆數據中找出最小的K個數
一共有以下幾種方法，效率由低到高：
1. 先對數據進行排序（插入排序，快速排序，whatever），然後取出前K個數
2. 聲明一個K大小的數組，先從這堆數據中裝入前K個數，找出這K個數中的最大的數Max(K)，然後從第K+1個數開始向後找，如果有小於這個Max(K)的，則替換掉這個數，然後從這K個數中重新找出最大的Max(K)，這樣一直向後掃描，得到結果。這個算法的時間複雜度最壞爲O(kn)。
3. 掃描數據堆K遍，每遍找出最小的那個數，複雜度爲O(kn)。
4. 使用最大堆：先用數據中的前K個數建立一個最大堆（根元素大於左子樹，同時大於右子樹，以此類推），建立堆的複雜度爲O(K)，然後從第K+1個數開始向後掃描，遇到小於堆頂元素時替換掉堆頂元素，更新堆，這個操作的時間複雜度爲O(logK)。所以總的時間是O(K + (n - k) * logK) = O (n * logK)，比O(nK)稍微好一點。
5. 使用最小堆：這次是將這個數據建一個最小堆（時間複雜度O(n)），然後取出堆頂元素，每取完一次更新一次堆（O(logn)），取k次，所以總的時間複雜度是O（n + k * logn）
注意：可以證明O（n + k * logn）< O (n * logK)，即使用最小堆的方法優於使用最大堆的方法，但是在實際應用中兩者的時間上的差距很小。但是請注意，在空間複雜度上最大堆需要O(k)，而最小堆需要O(n)，所以綜合來講，最大堆方法比最小堆方法有優勢。
6. 對最小堆方法的改進：每次取走堆頂元素更新堆時，正常是把堆中最後一個元素放到堆頂（暫且稱爲 !Top），然後調整堆把 !Top下調到他應該在的位置。改進後， !Top不用下調到他原所應該在的位置，而是下調頂多K次就可以了。具體如下：
建立n的最小堆之後，取走堆頂元素（第一個數），然後將最後的數 !Top調到堆頂，把 !Top下調至多K-1層形成新的堆；接着取走堆頂元素（第二個數），同樣，更新堆的時候 !Top下調至多K-2層...直到取走第K個數時，不再更新堆（此時的堆已經不是最小堆），算法結束，已經取得最小的K個數，最後的“堆”是不是堆已經跟我沒關係了。
改進後的複雜度：建堆O（n），更新堆O（K），K次更新爲O（K*K）=O（K^2），所以總的複雜度是O（n+K^2），比改進前的O（n+K*logn)要好。
7. 用快速排序的思想，先選取一個數作爲基準比較數（作者稱爲“樞紐元”，即pivot），用快速排序的方法把數據分爲兩部分Sa和Sb，Sa中的數據都小於pivot，Sb中的數據都大於pivot。
如果K< |Sa|（ |Sa|表示Sa的大小），則對Sa部分用同樣的方法繼續操作；
如果K= |Sa|，則Sa是所求的數；
如果K= |Sa| + 1，則Sa和這個pivot一起構成所求解；
如果K> |Sa| + 1，則對Sb部分用同樣的方法查找最小的（K- |Sa|-1）個數（其中Sa和pivot已經是解的一部分了）
8. 第二篇博客中所提到的BFPRT算法，BFPRT算法本質上是對上述快排思想算法的一種改進，重要改進就是在pivot的選取上，一般的快速排序算法是將數據堆中的第一個或者是最後一個數作爲pivot，而BFPRT算法採用“五分化中位數的中位數”方法取得這個pivot，從而使算法複雜度降低到O(n)，具體方法如下：
以5個數爲一組對數據進行劃分，最後一組數據的個數爲n%5，然後對每組數據用插入排序方法選出中位數，對選出的中位數用同樣的方法繼續選，最後選出這些數的中位數作爲pivot，即可達到O（N）的效率。
