均攤時間複雜度分析，又叫攤還分析（或者叫平攤分析）。均攤時間複雜度，聽起來跟平均時間複雜度有點兒像。對於初學者來說，這兩個概念確實非常容易弄混。大部分情況下，我們並不需要區分最好、最壞、平均三種複雜度。平均複雜度只在某些特殊情況下才會用到，而均攤時間複雜度應用的場景比它更加特殊、更加有限。我還是藉助一個具體的例子來理解。
// array表示一個長度爲n的數組
// 代碼中的array.length就等於n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}
先來解釋一下這段代碼。這段代碼實現了一個往數組中插入數據的功能。當數組滿了之後，也就是代碼中的 count == array.length 時，我們用 for 循環遍歷數組求和，並清空數組，將求和之後的 sum 值放到數組的第一個位置，然後再將新的數據插入。但如果數組一開始就有空閒空間，則直接將數據插入數組。那這段代碼的時間複雜度是多少呢？
最理想的情況下，數組中有空閒空間，只需要將數據插入到數組下標爲 count 的位置就可以了，所以最好情況時間複雜度爲 O(1)。最壞的情況下，數組中沒有空閒空間了，需要先做一次數組的遍歷求和，然後再將數據插入，所以最壞情況時間複雜度爲 O(n)。那平均時間複雜度是多少呢？答案是 O(1)。我們可以通過概率論的方法來分析。假設數組的長度是 n，根據數據插入的位置的不同，我們可以分爲 n 種情況，每種情況的時間複雜度是 O(1)。除此之外，還有一種“額外”的情況，就是在數組沒有空閒空間時插入一個數據，這個時間複雜度是 O(n)。而且，這 n+1 種情況發生的概率一樣，都是 1/(n+1)。所以，根據加權平均的計算方法，求得的平均時間複雜度是：
但是其實並不需要這麼複雜。這是爲什麼呢？對於 insert() 函數來說，O(1) 時間複雜度的插入和 O(n) 時間複雜度的插入，出現的頻率是非常有規律的，而且有一定的前後時序關係，一般都是一個 O(n) 插入之後，緊跟着 n-1 個 O(1) 的插入操作，循環往復。所以，針對這樣一種特殊場景的複雜度分析，並不需要像平均複雜度分析方法那樣，找出所有的輸入情況及相應的發生概率，然後再計算加權平均值。針對這種特殊的場景，我們引入了一種更加簡單的分析方法：攤還分析法，通過攤還分析得到的時間複雜度我們起了一個名字，叫均攤時間複雜度。那究竟如何使用攤還分析法來分析算法的均攤時間複雜度呢？
還是繼續看在數組中插入數據的這個例子。每一次 O(n) 的插入操作，都會跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗時多的那次操作均攤到接下來的 n-1 次耗時少的操作上，均攤下來，這一組連續的操作的均攤時間複雜度就是 O(1)。這就是均攤分析的大致思路。
均攤時間複雜度和攤還分析應用場景比較特殊，所以我們並不會經常用到。爲了方便你理解、記憶，我這裏簡單總結一下它們的應用場景。對一個數據結構進行一組連續操作中，大部分情況下時間複雜度都很低，只有個別情況下時間複雜度比較高，而且這些操作之間存在前後連貫的時序關係，這個時候，我們就可以將這一組操作放在一塊兒分析，看是否能將較高時間複雜度那次操作的耗時，平攤到其他那些時間複雜度比較低的操作上。而且，在能夠應用均攤時間複雜度分析的場合，一般均攤時間複雜度就等於最好情況時間複雜度。
