智能手機掉了是一件很煩人的事，因爲裏面經常有一些祕密的文件，讓不少朋友提心吊膽，只能寄希望於密碼不讓人破解了。前幾天，死理性派編輯收到了一位讀者的提問：在 iPhone 和 Android 系統中各有多少種可能的密碼？這似乎是“生活中的數學”的一個絕佳案例，於是死理性派編輯打算立即動手開始計算。
Phone 有10000種密碼
iPhone 的密碼是一個四位數，從 0000 到 9999 都有可能成爲 iPhone 的密碼，總的可能性有 10000 種。Android 系統則獨具一格，它的“密碼”是 3 × 3 的點陣中的一條路徑，這條路徑最少連接四個點，最多連接九個點。因而，符合要求的路徑數最多可以達到 A(9, 4) + A(9, 5) + A(9, 6) + A(9, 7) + A(9, 8) + A(9, 9) = 985 824 種，看上去遠遠超過了 iPhone 的密碼數。不過，這只是 Android 密碼數的一個上限。Android 設置密碼時有不少限制，這給死理性派的分析帶來了巨大的障礙。仔細研究後，死理性派編輯發現——這恐怕是實際生活中最複雜的數學題之一了。
Android 有389 112 種密碼
Android 的密碼是 3 × 3 點陣中的一條路徑，這條路徑可以交叉，可以“走日字”，幾乎是無所不能（只要不經過重複點），但卻有一個例外：路徑不允許跳過途中必須要經過的點。例如， 如果從左上角的點連接到右上角的點，中間的那個點會被自動地加進路徑裏。但麻煩就麻煩在，這個規則本身也有一個值得注意的地方：如果中間的點是之前已經用過的，那麼這個點就可以被跳過去了。
我們不妨把點陣中的九個點分別用數字 1 到 9 編號。按照上述規則，4136、4192 都是不合法的，但 24136、654192 則都是可行的。死理性派這下苦惱了，似乎五花八門的組合數學模型在這裏都派不上用場。怎麼辦呢？別急，我們還有強大的計算機幫忙。下面，有請編輯最愛的數學軟件 Mathematica 登場。
首先，讓我們生成所有 985 824 種沒有限制的排列組合：
再記下不能直接連接的點對：
由此生成不合法的排列規則：
從全部排列組合中刪掉不合法的，便得到了所有可能的 Android 密碼了：
Android 密碼一共有多少種可能性呢？讓我們來看看：
這樣，我們就得到了一個準確的數字：在 Android 系統上一共有 389 112 種可能的密碼，只佔之前估計的密碼數上限的 1/3 左右。
Android 的密碼要連接 6 個點纔夠強
別以爲 Android 的密碼可能性這麼多，你就能高枕無憂了。編輯身邊絕大多數的 Android 用戶，密碼路徑都只連接了四五個點。讓我們來看一看，在 389 112 種可能的密碼中，不同長度的密碼各佔多少：
可見，包含 4、5、6、7、8、9 個點的合法路徑數分別爲 1624、7152、26016、72912、140704、140704。如果你的密碼路徑連接的點數不到 6 個的話，可能的密碼總數只有 1624 + 7152 = 8776 個，還不如iPhone的密碼呢。
事實上，大多數用戶的密碼都是更簡單的路徑——路徑不與自身相交，並且所有線段都是水平、豎直或者 45 度傾斜的。這種路徑的數目就更少了。在此，死理性派編輯建議廣大 Android 用戶設定一些像 654192 一樣的怪異路徑，這樣纔算是一個足夠強的密碼。
