取石子兒和拿撲克牌問題

Tang和Jiang非常喜歡玩一種有趣的小遊戲:有N個石子，兩人輪流從中取出1個, 3個或4個石子，當石子被取空時，遊戲結束。最後一個取石子的人獲勝,第一次總是Tang取.當然，他們倆都足夠聰明，總會採取最優的策略。

算法思想（使用遞歸）：

當剩餘爲1、3、4的時候先手者必勝；如果當前數目不是這三個數字，則遞歸採用去1或3或4，只要其中有一種方式使得剩下的字兒使對方輸，則先手者必勝；否則後手者勝。代碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

bool win(int n){
	if(1==n || 3==n || 4==n)
		return true;
	if(2==n)
		return false;
	//只要有一種方案當取完後使對方輸，則先手必勝
	//這一切都是基於“雙方都足夠聰明”的前提
	if(!win(n-1) || !win(n-3) || !win(n-4))
		return true;
	else 
		return false;
}

int main(){
	bool flag = win(15);
	if(true == flag)
		cout << "win..." << endl;
	else
		cout << "lose..." << endl;
	
	return 0;
}

上面的方法時間複雜度太高，那麼是否能夠通過對當前一輪石頭總數的判斷，可以知道是當前玩家贏(先手贏)，還是下一輪的玩家贏(後手贏)呢?

我們可以發現，凡是mod 7 餘2或0的石頭數目，都是後手贏，其他情況都是先手贏。我們來證明一下：

(1) stoneNum=1,2,3,4時就不證明了。

(2) 當stoneNum=2的時候，是Player2贏。我們能夠想到，如果Player1抽取石頭後，能使得Player2玩的時候手頭上的石頭數量爲2。那麼Player1一定贏。也就是說(2+1=3)，(2+3=5)，(2+4=6)的石頭數量一定導致Player1贏。

(3) 當stoneNum=7的時候，Player1無論抽1，3，4塊石頭中的任意情況，都會使得Player2玩的時候手頭上的石頭數量爲6，4，3。這三種石頭數量都是當前玩家贏（Player2贏）。因此7塊石頭一定是Player2贏。

(4) 當stoneNum=7的時候，情況與(2)相同。因此(7+1=8)，(7+3=10)，(7+4=11)的石頭數量一定是Player1贏。

(5) 當stoneNum=9的時候，情況與(3)相同。因此9塊石頭一定是Player3贏。

(6) 依次下去，我們就能夠得出這個結論：

策略：如果當前石頭數量stoneNum%7==2||stoneNum%7==0，那麼一定是後手贏。除此之外是先手贏。

從這道題目又想到了以前看到的一個題目：

假如有10枚硬幣，由你和對手兩個人輪流拿，每次只能拿1個、2個或4個；拿走最後一枚硬幣的人，算輸。請問：有沒有必贏的可能？

算法思想（使用遞歸）：

當剩餘爲1、2、4的時候先手者必勝；如果當前數目不是這三個數字，則遞歸採用去1或2或4，只要其中有一種方式使得剩下的字兒使對方輸，則先手者必勝；否則後手者勝。代碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

bool win(int n){
	if(1==n || 2==n || 4==n)
		return true;
	if(3==n)
		return false;
	//只要有一種方案當取完後使對方輸，則先手必勝
	//這一切都是基於“雙方都足夠聰明”的前提
	if(!win(n-1) || !win(n-2) || !win(n-4))
		return true;
	else 
		return false;
}

int main(){
	bool flag = win(15);
	if(true == flag)
		cout << "win..." << endl;
	else
		cout << "lose..." << endl;
	
	return 0;
}

同樣如果按照上面分析數字的方法來分析則會非常簡單：

我們可以發現，如果剩餘的數字是3的整倍數的時候則先手輸，若當前數目模3後餘1、2、4，則先手贏：

(1) Num=1,2,4時就不證明了。

(2) 當stoneNum=3的時候，是Player2贏。我們能夠想到，如果Player1抽取石頭後，能使得Player2玩的時候手頭上的石頭數量爲3。那麼Player1一定贏。也就是說(3+1=4)，(3+2=5)，(3+4=7)的石頭數量一定導致Player1贏。

(3) 當stoneNum=6的時候，Player1無論抽1，2，4塊石頭中的任意情況，都會使得Player2玩的時候手頭上的石頭數量爲5，4，2。這三種石頭數量都是當前玩家贏（Player2贏）。因此6塊石頭一定是Player2贏。

(4) 當stoneNum=9的時候，情況與(2)相同。

(6) 依次下去，我們就能夠得出這個結論：

策略：如果當前石頭數量stoneNum%3==1||stoneNum%3==2||stoneNum%3==4，那麼一定是先手贏。之外是後手贏。