Toeplitz 矩陣對角化

原創

2020-02-21 04:49

Toeplitz 矩陣是一種比較特殊的矩陣：其中任何一條對角線的元素取相同的值，即

A n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 0 a 1 a 2 ⋮ a n a - 1 a 0 a 1 ⋮ a n - 1 a - 2 a - 1 a 0 ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ a 1 a - n a - n + 1 ⋮ a - 1 a 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

這裏不再展開證明。
Toeplitz 矩陣可以被Fourier矩陣對角化，即有

A n = F H n Λ F n

F 的元素爲

[F n] i j = 1 n \sqrt e j 2 π i k / n, 0 < = i, j < = n - 1

Λ 是n階對角矩陣。

 T = toeplitz([2 1 0 0 1]);

A n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 2100112100012100012110012 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

F = dftmtx(5)

F = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3090 - 0.9511 i - 0.8090 - 0.5878 i - 0.8090 + 0.5878 i 0.3090 + 0.9511 i 1.0000 - 0.8090 - 0.5878 i 0.3090 + 0.9511 i 0.3090 - 0.9511 i - 0.8090 + 0.5878 i 1.0000 - 0.8090 + 0.5878 i 0.3090 - 0.9511 i 0.3090 + 0.9511 i - 0.8090 - 0.5878 i 1.0000 0.3090 + 0.9511 i - 0.8090 + 0.5878 i - 0.8090 - 0.5878 i 0.3090 - 0.9511 i ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Λ=F∗T∗conj(F)/5;

Λ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 4.0000 0000 0 - 0.0000 i 2.6180 + 0.0000 i - 0.0000 + 0.0000 i - 0.0000 - 0.0000 i 0.0000 - 0.0000 i 0 0.0000 0.3820 0.0000 - 0.0000 0 - 0.0000 0.0000 0.3820 0.0000 0 + 0.0000 i 0.0000 + 0.0000 i - 0.0000 + 0.0000 i - 0.0000 - 0.0000 i 2.6180 - 0.0000 i ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

對角線上的元素便是Toeplitz 矩陣的特徵值。
其實也可以用矩陣

An 的第一列變換得到

fft([2 1 0 0 1])

a n s = [4.0000 2.6180 0.3820 0.3820 2.6180]

又或者這樣得到

F*[2 1 0 0 1]'

a n s = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 4.0000 2.6180 0.3820 0.3820 2.6180 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

另一個角度去理解頻率域

空間域，兩個序列的x,y 卷積，等於其中一個序列排成的Toeplitz 矩陣乘以另一個序列，即Toep(x)⋅y 。
空間域卷積的結果，等於兩個序列各自的傅里葉變換X，Y 之積，即

Toep (x) \cdot y = F - 1 \cdot Diag (F \cdot x) \cdot F \cdot y

Toep (x) = F - 1 \cdot Diag (X) \cdot F

F \cdot Toep (x) \cdot F - 1 = Diag (X)

這裏用

Diag(X) 表示以向量

X 的元素爲對角元的對角矩陣，

Toep(x) 表示用向量x的元素排成的Toeplitz矩陣。即Fourier矩陣將Toeplitz矩陣對角化了。

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