Stable Fluids淺理解之二

流體程序建立的四個步驟分別是：

從第一步說起：這一步也是最簡單的，添加外力。首先我們設定在t 時間到t +時間段內考慮問題，並且我們假設外力在時間內變化不是非常大，所以：

，這樣第一步就完成了。

第二步，流體的對流的效果是非常重要的一部分。在流體中，干擾的傳播根據，很明顯，這將導致Navier-Stokes方程爲非線性方程。Foster和Metaxas解決這個問題通過有限差分的方法，這種方法很好，在段非常小的時候。本文介紹的方法爲特徵線法，完全不需要任何條件仍然非常穩定。

在每一個時間間隔內，所有的流體例子被它自己的速度所移動。因此，爲了獲得粒子在點X，在新的時間上的速度，我們能夠追溯這個點X通過速度場w1在時間內。這就定義了一個路徑對應速度場的局部流線。因此：.至此，第二步搞定。

第三步，流體的擴散。解決粘度的效果是等價於擴散方程。因此：.解決這個方程的最直接的方法就是離散化擴散因子，然後按照Foster和Metaxas的方法去做。因此，文中使用的不明顯的方法爲：.

第四步，映射方法需要一種好的對Possion方程的解決方法。Possion方程：.

下面我們考慮邊界問題。

當我們考慮週期性邊界條件在一個域當中，我們的算法能夠採用一種比較簡單的方式。週期性使得我們可以把速度轉化到Fourier域：

，在Fourier域中，算子等價於iK，.因此，擴散步驟和映射步驟都是比較簡單去解決了。

因此在Fourier域中的步驟變爲：

Fourier變換的複雜度爲：，理論上來說這種方法消耗的代價要不多網格法更大，但是這種方法比較簡單去實施。