離散數學 集合論初步

集合論總結

關係

**元素與集合的關係：**屬於與不屬於
**集合與集合的關係：**相等、包含與不包含

運算

交運算、並運算、相對補與絕對補、對稱差。
相對補與絕對補： $A-B$ 與 $E-B（\sim B)$
對稱差： $(A-B)\cup(B-A)$

包含排斥原理

跟概率中的部分知識重合，比較簡單。
兩個集合時：
$|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$

式中$|A|$表示$A$中元素個數。
多個集合類似。

笛卡兒積

$A \times B=\{\langle x, y\rangle | x \in A \wedge y \in B\}$
A到B的關係：$A \times B$的所有子集都是從A到B的關係。
A上的關係：$A\times A$的子集稱爲A上的關係。
特殊關係：空關係、全關係（全域關係）、恆等關係。

關係的性質：自反性、反自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性等。
$R$在$A$上的性質：
自反性：$\forall x(x \in A \rightarrow\langle x,x \rangle \in R)$

反自反性：$\forall x(x \in A \rightarrow \langle x,x \rangle \notin R)$

對稱性：$\forall x \forall y(x,y \in A \land \langle x,y \rangle \in R \rightarrow \langle y,x \rangle \in R)$

反對稱性：$\forall x \forall y(x,y \in A \land \langle x,y \rangle \in R \land \langle y,x \rangle \in R \rightarrow x=y) \Leftrightarrow \forall x \forall y(x,y \in A \land \langle x,y \rangle \in R \land x \neq y \rightarrow \langle y,x\rangle \notin R)$

傳遞性：$\forall x \forall y \forall z(x, y, z \in A \wedge\langle x, y\rangle \in R \wedge\langle y, z\rangle \in R \rightarrow\langle x, z\rangle \in R$

舉例：

$domR:R$的定義域，關係$R$的第一個元素的構成的集合。

$ranR:R$的值域，關係$R$的第2個元素的構成的集合。

$R^{-1}：$第一元和第二元交換。

$R\circ R \quad (R^2):$ 若$<x,y>\in R,<y,z>\in R$，則$<x.z>\in R^2$。稱爲R與R的複合，也叫R的平方。

**Note：**不是自反不一定反自反，不是對稱不一定反對稱。反過來也成立。

某種計算 $\qquad r(R) \quad s(R) \quad t(R)$
自反閉包：$r(R) = R \cup I_A$
對稱閉包：$s(R) = R\cup R^{-1}$
傳遞閉包：$t(R) = R\cup R^2 \cup R^3 \cup \dots$ 一般只到$R^n,n$爲元素個數。

特殊關係

等價關係

若R是非空集合A上的關係，且R是自反的、對稱的、傳遞的，則R爲A上的等價關係。
此時，若有$<x,y>\in R$則稱x等價於y，記爲$x\sim y$。
**等價類：**R是A上的等價關係，$x\in A$，x的等價類$[x]_R = \{y|y\in A \bigwedge <x,y>\in R\}$

偏序關係

若R是非空集合A上的關係，且R是自反的、反對稱的、傳遞的，則R爲A上的等價關係。
A和A上的偏序關係R一起叫做偏序集，記作$(A,R)$