卡特蘭數

Catalan數——卡特蘭數 
今天阿里淘寶筆試中碰到兩道組合數學題，感覺非常親切，但是筆試中失蹤推導不出來
後來查了下，原來是Catalan數。悲劇啊，現在整理一下

一、Catalan數的定義令h(1)=1，Catalan數滿足遞歸式：h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2該遞推關係的解爲：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2箇中取n-1個的組合數）

問題描述:
12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
這個筆試題，很YD，因爲把某個遞推關係隱藏得很深。

問題分析:
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就對應着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
問題轉換爲，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察1的出現，我們考慮這一個出現能不能放在第二排，顯然，在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要麼是在這個1左邊，要麼是在這個1前面。而肯定要有一個0的，在這個1前面，統計在這個1之前的0和1的個數。
也就是要求，0的個數大於1的個數。
OK，問題已經解決。
如果把0看成入棧操作，1看成出棧操作，就是說給定6個元素，合法的入棧出棧序列有多少個。
這就是catalan數,這裏只是用於棧，等價地描述還有，二叉樹的枚舉、多邊形分成三角形的個數、圓括弧插入公式中的方法數，其通項是c(2n, n)/(n+1)。

在<<計算機程序設計藝術>>，第三版，Donald E.Knuth著，蘇運霖譯，第一卷，508頁，給出了證明:
問題大意是用S表示入棧，X表示出棧，那麼合法的序列有多少個(S的個數爲n)
顯然有c(2n, n)個含S，X各n個的序列，剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的S和X，但是違背其它條件)。
在任何不允許的序列中，定出使得X的個數超過S的個數的第一個X的位置。然後在導致幷包括這個X的部分序列中，以S代替所有的X並以X代表所有的S。結果是一個有(n+1)個S和(n-1)個X的序列。反過來，對一垢一種類型的每個序列，我們都能逆轉這個過程，而且找出導致它的前一種類型的不允許序列。例如XXSXSSSXXSSS必然來自SSXSXXXXXSSS。這個對應說明，不允許的序列的個數是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

驗證：其中F表示前排，B表示後排，在枚舉出前排的人之後，對應的就是後排的人了，然後再驗證是不是滿足後面的比前面對應的人高的要求。

#include <iostream>
using namespace std;

int bit_cnt(int n)
{
    int result = 0;
    for (; n; n &= n-1, ++result);
    return result;
}

int main(void)
{
    int F[6], B[6];
    int i,j,k,state,ok,ans = 0;
    for (state = 0; state < (1 << 12); ++state)
    {
        if (bit_cnt(state) == 6)
        {
            i = j = 0;
            for (int k = 0; k < 12; ++k)
            {
                if(state&(1<<k))
                    F[i++] = k;
                else
                    B[j++] = k;
            }
            ok = 1;
            for (k = 0; k < 6; ++k)
            {
                if (B[k] < F[k])
                {
                    ok = 0;
                    break;
                }
            }
            ans += ok;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

結果：132

而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132

注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)
估計出題的人也讀過<<計算機程序藝術>>吧。

PS：
另一個很YD的問題:
有編號爲1到n(n可以很大，不妨在這裏假定可以達到10億)的若干個格子，從左到右排列。
在某些格子中有一個棋子，不妨設第xi格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)
每次一個人可以把一個棋子往左移若干步，但是不能跨越其它棋子，也要保證每個格子至多隻有一個棋子。
兩個人輪流移動，移動不了的爲輸，問先手是不是有必勝策略。

三、Catalan數的典型應用：

1、括號化問題。矩陣鏈乘： P=A1×A2×A3×……×An，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

   一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下爲長度爲6的dyck words:
                            XXXYYY     XYXXYY    XYXYXY    XXYYXY    XXYXYY
    將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：
                         ((()))     ()(())      ()()()      (())()      (()())

2、將多邊行劃分爲三角形問題。將一個凸多邊形區域分成三角形區域(劃分線不交叉)的方法數?

類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

3、出棧次序問題。一個棧(無窮大)的進棧序列爲1、2、3、...、n，有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

類似：一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作，每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？

分析：對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設爲狀態‘1’，出棧設爲狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進制數。由於等待入棧的操作數按照1‥n的順序排列、入棧的操作數b大於等於出棧的操作數a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。

4、給頂節點組成二叉樹的問題。
　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
　　(一定是二叉樹！先取一個點作爲頂點，然後左邊依次可以取0至N-1個相對應的，右邊是N-1到0個，兩兩配對相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n))   （能構成h（N）個）

       在2n位二進制數中填入n個1的方案數爲c(2n,n)，不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即爲所求。
       不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成爲n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
       反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由於0的個數多2個，2n爲偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成爲由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。

因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。

顯然，不符合要求的方案數爲c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

（這個公式的下標是從h(0)=1開始的）

轉載自：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7450250