【算法+OpenCV】基於opencv的直線和曲線擬合與繪製（最小二乘法）

最小二乘法多項式曲線擬合，是常見的曲線擬合方法，有着廣泛的應用，這裏在借鑑最小二乘多項式曲線擬合原理與實現的原理的基礎上，介紹如何在OpenCV來實現基於最小二乘的多項式曲線擬合。

概念

最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,並不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

原理

給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。並且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常見的曲線擬合方法:

1.使偏差絕對值之和最小

     

2.使偏差絕對值最大的最小

     

3.使偏差平方和最小

     

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，並且採取二項式方程爲擬合曲線的方法,稱爲最小二乘法。

推導過程：

1. 設擬合多項式爲：

          

2.各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

          

3.爲了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了： 

          

          

                         .......

          

4.將等式左邊進行一下化簡，然後應該可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

5.把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：

          

6.即X*A=Y。

我們只要解出這個線性方程，即可求得擬合曲線多項式的係數矩陣。而在opencv中，有一個專門用於求解線性方程的函數，即cv::solve()，具體調用形式如下：

int cv::solve(
	cv::InputArray X, // 左邊矩陣X, nxn
	cv::InputArray Y, // 右邊矩陣Y,nx1
	cv::OutputArray A, // 結果，係數矩陣A,nx1
	int method = cv::DECOMP_LU // 估算方法
);

我們只需要按照上述原理，構造出矩陣X和Y，即可調用該函數，計算出多項式的係數矩陣A。

opencv中支持的估算方法如下圖所示：

實現如下：

bool polynomial_curve_fit(std::vector<cv::Point>& key_point, int n, cv::Mat& A)
{
	//Number of key points
	int N = key_point.size();

	//構造矩陣X
	cv::Mat X = cv::Mat::zeros(n + 1, n + 1, CV_64FC1);
	for (int i = 0; i < n + 1; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n + 1; j++)
		{
			for (int k = 0; k < N; k++)
			{
				X.at<double>(i, j) = X.at<double>(i, j) +
					std::pow(key_point[k].x, i + j);
			}
		}
	}

	//構造矩陣Y
	cv::Mat Y = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);
	for (int i = 0; i < n + 1; i++)
	{
		for (int k = 0; k < N; k++)
		{
			Y.at<double>(i, 0) = Y.at<double>(i, 0) +
				std::pow(key_point[k].x, i) * key_point[k].y;
		}
	}

	A = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);
	//求解矩陣A
	cv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_LU);
	return true;
}

測試代碼如下：

int main()
{
	//創建用於繪製的深藍色背景圖像
	cv::Mat image = cv::Mat::zeros(480, 640, CV_8UC3);
	image.setTo(cv::Scalar(100, 0, 0));

	//輸入擬合點  
	std::vector<cv::Point> points;
	points.push_back(cv::Point(100., 58.));
	points.push_back(cv::Point(150., 70.));
	points.push_back(cv::Point(200., 90.));
	points.push_back(cv::Point(252., 140.));
	points.push_back(cv::Point(300., 220.));
	points.push_back(cv::Point(350., 400.));

	//將擬合點繪製到空白圖上  
	for (int i = 0; i < points.size(); i++)
	{
		cv::circle(image, points[i], 5, cv::Scalar(0, 0, 255), 2, 8, 0);
	}

	//繪製折線
	cv::polylines(image, points, false, cv::Scalar(0, 255, 0), 1, 8, 0);

	cv::Mat A;

	polynomial_curve_fit(points, 3, A);
	std::cout << "A = " << A << std::endl;

	std::vector<cv::Point> points_fitted;

	for (int x = 0; x < 400; x++)
	{
		double y = A.at<double>(0, 0) + A.at<double>(1, 0) * x +
			A.at<double>(2, 0)*std::pow(x, 2) + A.at<double>(3, 0)*std::pow(x, 3);

		points_fitted.push_back(cv::Point(x, y));
	}
	cv::polylines(image, points_fitted, false, cv::Scalar(0, 255, 255), 1, 8, 0);

	cv::imshow("image", image);

	cv::waitKey(0);
	return 0;
}

繪製結果：

2017.06.05