組合數學引論

組合數學引論

許胤龍、孫淑玲

一、鴿巢原理

Ramsey數

習題

二、排列組合

加/減法原理、乘/除法原理

排列

從n$n$ 元集合S$S$ 中選出r$r$ 個元素將其按次序排列。其數目用Arn$A_n^r$ 或P(n,r)$P(n,r)$ 表示。
Arn=n!(n−r)!$A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$

組合

從n$n$ 元集合S$S$ 中選出r$r$ 個元素將其無序排列。其數目用Crn$C_n^r$ 或(nr)$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ 表示。
Crn=n!r!(n−r)!$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

多重集合排列

前面講的排列問題中認爲n$n$ 個元素互不相同，若允許排列的對象有相同的元素，就是多重排列問題。
多重集合的表示方法爲M={ki⋅ai|i=1,...,n}$M=\{k_i\cdot a_i|i=1,...,n\}$
全無窮多重集合M={∞⋅ai|i=1,...,n}$M=\{\mathrm{\infty }\cdot a_i|i=1,...,n\}$ 的r$r$ 排列數爲nr$n^r$ 。
全有窮多重集合M={ki⋅ai|i=1,...,n}$M=\{k_i\cdot a_i|i=1,...,n\}$ 的全排列數爲(∑iki)!∏iki!$\frac{(\sum _i{k}_i)!}{\prod _i{k}_i!}$

多重集合組合

從多重集合M$M$ 中無序地選出r$r$ 個元素。
全無窮多重集合M={∞⋅ai|i=1,...,n}$M=\{\mathrm{\infty }\cdot a_i|i=1,...,n\}$ 的r$r$ 組合數爲Crn+r−1$C_{n+r-1}^r$ 。

習題

三、二項式係數

Newton二項式定理

組合恆等式

多項式定理

多項式係數(nn1n2...nk)$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1{n}_2...n_k})$

習題

四、容斥原理

推廣的容斥原理

應用

全有限多重集合的r$r$ 組合數

錯牌問題

單重，相比於後面的menage問題

有禁止模式的排列問題

有限制位置的排列，棋子多項式

Mobius反演，可重複圓排列

Mobius函數

n=∏i=1kplii,μ(n)=⎧⎩⎨10(−1)rn=1∃i,li>1∀i,li=1$$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{l_i},\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }i,l_i>1\\ (-1{)}^r& \mathrm{\forall }i,l_i=1\end{array}$$

五、生成函數

G{an}=∑n=0∞anxn$$G\{a_n\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$

隨機過程中也學到過這個生成函數/母函數，聯繫微積分，其實就是Laplace變換或Z$Z$ 變換

形式冪級數

將變量x∈R$x\in \mathbb{R}$ 視爲抽象符號（？？？）後的G{an}$G\{a_n\}$
對R$\mathbb{R}$ 上的形式冪級數全體R[[x]]$\mathbb{R}[[x]]$ 定義
加法：
乘法：
於是