關於特徵值和特徵向量的一些公式推導

什麼是特徵值和特徵向量

考慮一個2×2$2\times 2$ 矩陣

(1324)$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

它如果和一個向量相乘的作用到底是什麼
考慮：
對於二維空間內的一組正交基(0,1)T$(0,1{)}^T$ 和(1,0)T$(1,0{)}^T$

(1324)(01)=(24)$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$$

(1324)(10)=(13)$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$$

對於二維空間內的任意向量(x,y)$(x,y)$

(1324)(xy)=(1∗x+2∗y3∗x+4∗y)$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\ast x+2\ast y\\ 3\ast x+4\ast y\end{array}\right)$$

於是可以看到：
在一個n$n$ 維向量x$x$ 的左邊乘以一個相應的n$n$ 階矩陣A$A$ 的作用就是把原先的座標軸進行一個線性變換（shear:就像是剪刀的動作一樣），原先的(0,1)T$(0,1{)}^T$ 和(1,0)T$(1,0{)}^T$ 變成了(2,4)T$(2,4{)}^T$ 和(1,3)T$(1,3{)}^T$ ，對於任意的向量可以得到一個shear後的新的座標。

一個矩陣的特徵值和特徵向量就是，在這個shear的過程中，該向量(特徵向量)只進行長度（正向和反向）(特徵值)的變換，而不會在A$A$ 的作用下發生類似時鐘指針的動作（只會正向和反向拉伸或壓縮，但是不會旋轉）。

於是乎：
對於公式

Ax=λx(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}\end{array}$$

就體現了剛剛的那段話
要得到這個λ$\lambda$ 和x$\mathbf{x}$ 我們可以對(1)$(1)$ 進行處理

(A−λE)x=0(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& (A-\lambda E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\end{array}$$

如果讓(2)$(2)$ 有非零解，則有det(A−λE)=0$det(A-\lambda E)=0$