【機器學習】covariate shift現象的解釋

一、什麼是covariate shift？

在論文中經常碰到covariate shift這個詞，網上相關的中文解釋比較少。你可能會在介紹深度學習Batch Normalization方法的論文到中看到covariate shift這個詞，並且所有看過這篇論文的或者實際做過工程的人，都知道BN這種歸一化手段很好用，可以避免covariate shift

那麼covariate shift到底是什麼？
不用想得太複雜，covariate shift最早只是機器學習中的一個問題。同時遷移學習會經常涉及到這個概念。
假設x是屬於特徵空間的某一樣本點，y是標籤。covariate這個詞，其實就是指這裏的x，那麼covariate shift可以直接根據字面意思去理解：樣本點x的變化。
這麼簡單？沒錯就是這麼簡單！

我們講的規範一點：
假設q1（x）是測試集中一個樣本點的概率密度，q0（x）是訓練集中一個樣本點的概率密度。最終我們估計一個條件概率密度p(y|x，θ)，它由x和一組參數θ=｛θ1，θ2......θm｝所決定。對於一組參數來說，對應loss(θ)函數評估性能的好壞
綜上，當我們找出在q0（x）分佈上最優的一組θ'時，能否保證q1（x）上測試時也最好呢？
傳統機器學習假設訓練集和測試集是獨立同分布的，即q0（x）=q1（x），所以可以推出最優θ'依然可以保證q1（x）最優。但現實當中這個假設往往不成立，伴隨新數據產生，老數據會過時，當q0（x）不再等於q1（x）時，就被稱作covariate shift

二、怎麼解決covariate shift？

以上已經知道一個樣本點分別在訓練集和測試集上的概率密度q0（x）和q1（x），實際當中的解決方案是附加一個由x決定的權值

使得在訓練過程當中對於q1（x）很大或者q0（x）很小的樣本視作“重要”樣本，這樣的樣本是有益於測試集預測的，我們應該儘量把它分類正確。而對於q1（x）很小或者q0（x）很大的樣本，它只是被時代遺棄的“老數據”，這些樣本對於模型訓練的意義也是無關緊要了

舉一個形象的例子：

現在我們要通過多項式迴歸預測某一個函數。數據產生通過下式，並且用正態分佈產生噪聲加在上面

通過一個其中產生q0（x）當作訓練集，大小爲n=100

假設模型的形式是，最終訓練得到一根直線去儘可能擬合這些點。

實驗結果如左圖，最終得到一條線，對應圖中OLS

根據其中生成測試集q1（x），如右圖

最理想的情況，我們直接擬合測試集的點，得到右圖中的實線，和左邊的線完全不一樣，看出covariate shift發生了。

但是我們需要測試集的輔助來解決covariate shift問題（如果直接訓練測試集就毫無意義了），求得

通過附加權值的方法，最終訓練得到左圖中虛線WLS

可以看出最終得到的模型，是可以很好的適應測試集的。

從遷移學習的角度看，這也是一種用source domain的標籤數據，結合target domain的無標籤數據，指導進行知識的遷移的方法。