數據結構與算法學習之二叉樹及二叉樹的相關操作

樹中有一些概念需要我們瞭解，節點的度是指該節點子樹的個數，樹的度是指樹中節點度得最大值，一個樹的深度是指樹中節點最大層次值。二叉樹是數據結構中一種重要的結構，它有很多重要的性質：

1）二叉樹第i層上最多有2^i-1個節點；

2）深度爲k的二叉樹各層節點總數最多爲2^k-1；

3）在任意的二叉樹中，如果葉子節點個數爲n₀，度爲1的節點個數爲n₁，度爲2的節點的個數爲n₂，則n₂=n₀+1;

4）具有n個節點的完全二叉樹，其樹的深度爲log₂n向下取整再加1；

5）對有n個節點的二叉樹從1到n的順序進行編號，則對於編號爲i的節點（i>=1）有：

當i=1時，該節點爲樹根；

當i>1時，該節點的雙親節點爲i/2向下取整；

當2i<=n時，該節點有編號爲2i的的左孩子；

當2i+1<=n時，該節點有編號爲2i+1的右孩子。

此篇博客主要記載本人對二叉樹如何建立，遍歷的一些知識。

二叉樹的建立算法還是相對繁瑣的，這裏面主要介紹兩種二叉樹的簡歷方法：1）對樹中所有節點進行編號，輸入相應節點的數值的方法；2）使用遞歸的方式，按照遍歷的方式輸入樹節點的遍歷序列。

首先看看第一種方式，所需要輸入的信息有節點編號和節點存儲的數值，藉助一個輔助向量用於存儲指向每個節點的指針，具體算法如下：

當輸入的節點編號爲1時，此時它是根節點，同時將指向該節點的指針存放在s[1]中。

當輸入的節點編號i大於1時，先將其存入s[i]中，然後可以知道其雙親節點爲j=i/2；

如果i爲偶數，它是雙親的左孩子，則有s[j]->lchild=s[i];

如果i爲奇數，它是雙親的右孩子，則有s[j]->rchild=s[i];

這樣就可以輸入多個節點組成一個二叉樹，而且逐步將孩子與雙親節點建立連接。

第二種方式就是遞歸的建立二叉樹了：具體思路可以見後面的代碼。

建立好了二叉樹，我們最應該掌握的算法就是對二叉樹的遍歷了。

二叉樹的遍歷有先序遍歷，中序遍歷，後序遍歷和層序遍歷四種。有遞歸實現和非遞歸實現，這些我們都應該掌握。

 /*********Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin*********/ /*******************Tree practice*****************/ #include <iostream> using namespace std; typedef int Elemtype; class Treenode { public: Elemtype data; Treenode *lchild, *rchild; }; class Tree { public: Tree(){root = NULL;} ~Tree(){destroy(root);root=NULL;} void Creat1(); //創建一個二叉樹，按照先序遍歷遞歸建立二叉樹 void Creat2(); //創建一個二叉樹，按照編號元素建立二叉樹 void Preorder() {preorder(root);} void Inorder() {inorder(root);} void Postorder() {postorder(root);} private: Treenode *root; Treenode* creat_bt(); void destroy(Treenode*); void preorder(Treenode*); void inorder(Treenode*); void postorder(Treenode*); }; void Tree::Creat1() { cout<<"請按照先序遍歷寫出要輸入的元素流，空孩子以0代替"<<endl; root=creat_bt(); } Treenode* Tree::creat_bt() { Treenode *t; int num; cin>>num; if (num==0) t=NULL; else { t=new Treenode; t->data = num; t->lchild=creat_bt(); t->rchild=creat_bt(); } return t; } void Tree::Creat2() { Treenode*p, *s[10]; int i,m; cout<<"請輸入編號順序（根節點序號爲1）及相應的節點元素值"<<endl; cin>>i>>m; while((i>0)&&(m>0)) { p=new Treenode; s[i] = p; p->data = m; p->lchild = NULL; p->rchild = NULL; if (i==1) root = p; else { if(i%2==0) s[i/2]->lchild=p; else s[i/2]->rchild=p; } cout<<"請輸入編號順序（根節點序號爲1）及相應的節點元素值"<<endl; cin>>i>>m; } } void Tree::preorder(Treenode*p) { if(p!=NULL) { cout<<p->data; preorder(p->lchild); preorder(p->rchild); } } void Tree::inorder(Treenode*p) { if(p!=NULL) { inorder(p->lchild); cout<<p->data; inorder(p->rchild); } } void Tree::postorder(Treenode*p) { if(p!=NULL) { preorder(p->lchild); preorder(p->rchild); cout<<p->data; } } void Tree::destroy(Treenode *p) { if (p!=NULL) { destroy(p->lchild); destroy(p->rchild); delete p; } } int main() { Tree tree; tree.Creat1(); tree.Preorder(); tree.Creat2(); tree.Preorder(); }

上面的遍歷算法均爲遞歸的，非遞歸實現如下

/*******************二叉樹先序非遞歸遍歷******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::Preorder() { Stack<Treenode*> s; Treenode *p = root; int x = 1; do { while(p!=NULL) {cout<<p->data; s.push(p); p=p->lchild;} if (s.Isempty_stack()) x=0; else { p=s.pop(); p=p->rchlid; } }while(x); } /*******************二叉樹中序非遞歸遍歷******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::Inoreder() { Stack<Treenode*> s; Treenode *p = root; int x = 1; do { while(p!=NULL) {s.push(p); p=p->lchild;} if (s.Isempty_stack()) x=0; else { p=s.pop(); cout<<p->data; p=p->rchlid; } }while(x); } /*******************二叉樹後序非遞歸遍歷******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::postoreder() { Stack<Treenode*> s，Stack<int> t; Treenode *p = root; Treenode *q; int x = 1; do { while(p!=NULL) {s.push(p); t.push(1); p=p->lchild;} if (s.Isempty_stack()) x=0; else { if(t.Gettop()==1) { t.pop(); t.push(2);q = s.Gettop();q=q->rchild;} else { q=s.pop(); t.pop(); cout<<q->data; q=NULL; } } }while(x); } /*******************二叉樹層序非遞歸遍歷******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::leveloreder() { Queue<Treenode*> s; Treenode* p; p=root; if (p!=NULL) s.Addqueue(p); while(!s.Isempty()) { p=s.Dequeue(); cout<<p->data; if(p->lchild!=NULL) s.Addqueue(p->lchild); if(p->rchild!=NULL) s.Addqueue(p->rchild); } }

二叉樹的操作除了建立和遍歷以外，還可以考察一些操作，比如統計一下樹中節點的總數，有多少個葉子節點，或者是問問樹的深度是多少之類的問題，下面是以上3個問題的C++代碼：

/*******************二叉樹節點個數統計******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::num_node(Treenode* p,int &count) { /*此處在調用num_node時，需要傳遞一個計數的整形變量，初始化應爲0*/ if (p!=NULL) { num_node(p->lchild,count); count++; num_node(p->rchild,count); } } /*******************二叉樹葉子節點個數統計******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ void Tree::num_leafnode(Treenode* p,int &count) { /*此處在調用num_leafnode時，需要傳遞一個計數的整形變量，初始化應爲0*/ if (p!=NULL) { num_leafnode(p->lchild,count); if(p->lchild==NULL && p ->rchild==NULL)count++; num_leafnode(p->rchild,count); } } /*******************二叉樹深度計算******************/ /**************Shanghai Jiaotong EE zhouguiyin************/ int Tree::depth(Treenode* p) { if (p!=NULL) { return 1+max(depth(p->lchild),depth(p->rchild)); else return 0; } } int Tree::max(int A, int B) { return(A>=B?A:B); }