清華大學公開課線性代數2——第7講：工程中的矩陣

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筆記源自：清華大學公開課：線性代數2——第7講：工程中的矩陣

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目錄

應用數學的幾個原則

1. 將非線性問題變成線性問題(Nonlinear becomes linear)
2. 將連續問題轉化爲離散的(Continuous becomes discrete)

工程中的矩陣

許多物理定理都是線性關係(as approximations of reality)，比如胡克定律(Hook’s law)、歐姆定律(Ohm’s law)、牛頓第二定律(F=ma)，討論這些定律的向量形式。線性關係的向量形式以如下方式、框架來討論：

(1) e=Au$(1)e=Au$
(2) y=Ce$(2)y=Ce$
(3) f=ATw$(3)f=A^{T}w$

其中u$u$ 是起始未知量(primary unknown)$(primaryunknown)$ ，f$f$ 是外部的輸入(input)$(input)$ ：

線性問題通常是：輸入f$f$ ，求出u$u$ ？

例如：
胡克定律：Displacement is proportional to force f=ku
歐姆定律：Current is proportional to voltage difference推廣到向量形式：f=Ku$f=Ku$
另外的例子：最小二乘法 ATAx=ATb$A^{T}Ax=A^{T}b$ ，求x$x$

線性彈簧模型

情形(1)

情形(2)

情形(3)

情形(4)

總結

胡克定律的向量形式把它應用到了彈性力學中，這個u$u$ 表示的是質體的上下位移e$e$ 是彈簧和伸長或縮短量，那麼它們之間的關係呢？可以通過這樣A$A$ 這個矩陣那麼A非常相似於一個差分矩陣，這樣彈簧的伸長和縮短量和彈簧的彈力之間可以通過胡克定律來描述，那麼這若干根彈簧它們所產生的彈力我們提升到胡克定律這樣一個向量形式：C的每一個對角分量表示的是一個彈性係數（y=Ce$y=Ce$ ）。最後彈力和外力之間：當達到平衡以後，可以通過一個矩陣去描述它們的關係，這個矩陣跟前面這個矩陣正好互爲轉置最後把整個過程合起來到這個矩陣K=ATCA$K=A^{T}CA$ ，稱爲剛度矩陣剛度矩陣刻劃了系統受外力作用的形變程度。

剛度矩陣

注：此處老師講解具有小的跳躍性 ，渣渣註釋如下：

• K,T$K,T$ 是正定的：C$C$ 矩陣表示彈性係數是正定的，K=ATCA$K=A^{T}CA$ ，當 A$A$ 可逆的時候，K$K$ 與 C$C$ 合同的。

與正定矩陣合同的對稱矩陣也是正定的

​ 判斷是實對稱陣是不是正定的第一條判別法：特徵值是否全正，是的話則這個實對稱矩陣就是正定的。根據慣性定理，由於與正定矩陣（記爲A$A$ ）合同的矩陣（記爲B$B$ ）其特徵值符號與 A$A$ 一致且保持對稱性，那麼B$B$ 的特徵值也是全正的，因此 B$B$ 也是正定的。

• B,C$B,C$ 是半正定的

因爲彈性係數矩陣 C$C$ 是正定的對角陣⇒xTKx=xTATCAx=xTAT(C−−√TC−−√)Ax=xTATC−−√TC−−√Ax=||C−−√Ax||2$\Rightarrow x^{T}Kx=x^T{A}^{T}CAx=x^T{A}^T({\sqrt{C}}^T\sqrt{C})Ax=x^T{A}^T{\sqrt{C}}^T\sqrt{C}Ax=||\sqrt{C}Ax|{|}^2$ ，因爲A$A$ 是奇異的，xTKx≥0$x^{T}Kx\ge 0$ ， 因此K是半正定的。

性質1

注：fi$f_i$ 是 i$i$ 個質題所受的外力，例如：重力，fi=mig, mi$f_i=m_{i}g,m_i$ 是 i$i$ 個質體的質量。

性質2

注：此處老師直接說一般性結論，A, B$A,B$ 都正定的，那麼AB$AB$ 可能不對稱，但是AB$AB$ 存在正特徵值。圓盤定理也是直接引用（！！渣渣工科狗表示聞所未聞！！）。

性質3

從離散到連續

f=ATCAu$f=A^{T}CAu$

總結：

(1) e=ui−ui−1=Δu=dudx=Au(2)y=Ce=c(x)e(x)(3) f=−(yi−yi−1)=−Δy=−dydx=ATy$$\begin{gathered} (1)e=u_i-u_{i-1}=\mathrm{\Delta }u=\frac{du}{dx}=Au \\ (2)y=Ce=c(x)e(x) \\ (3)f=-(y_i-y_{i-1})=-\mathrm{\Delta }y=-\frac{dy}{dx}=A^{T}y \end{gathered}$$