HDU6134 Battlestation Operational 【莫比烏斯】

鏈接

---

設g(n)=∑ni=1∑ij=1ceiling(ij)
g(n/3)=∑n/3i=1∑ij=1ceiling(ij)=∑n/3i=1∑ij=1ceiling(3i3j)
顯然gcd(3i,3j)>=3，g(n)−g(n/3)=∑ni=1∑ij=1{ceiling(ij)∗[gcd(i,j)!=3∗k]}
這樣,答案就顯而易見了...
f(n)=∑ni=1μ(i)g(i)
f(n)−f(n−1)=∑[μ(i)g(n/i)−μ(i)g((n−1)/i)]
f(n)=f(n−1)+∑μ(i)[g(n/i)−g((n−1)/i)]
用莫比烏斯搞一下

而g(n)的求解
設ceiling(i/j)=k,枚舉j,k
當ceiling(i/j)=k時,i的可能範圍爲[j∗(k−1)+1,j∗k]
而顯然,當j固定時,k可能的值在[1,n/j]之間，O(n/1+n/2+n/3+...+1)=O(n∗(1+1/2+1/3+...+1/n))=O(n∗ln(n+1))
區間線段樹給[j∗(k−1)+1,j∗k]區間+k,復雜度爲O(n∗ln(n+1)∗log(n))

而如果t[i]=下標i爲起點,[i,n]內的元素全部加上t[i]
當t[(k−1)∗j+1]+=k,t[(k∗j+1)]−=k,表示(k−1)∗j+1作爲起點全部+k，(k∗j+1)作爲起點全部−k
g(i)=∑ij=1t[i],騷操作一下,復雜度減少一個log(n)

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))

using namespace std;

const int inf=1e9+7;
const int N = 1e6 + 50;

namespace Moblus{
    const int maxn = N;
    bool check[maxn+10];
    int prime[maxn+10];
    int mu[maxn+10];
    void Moblus(){
        MEM(check,0);
        mu[1]=1;
        int tot=0;
        for(int i=2;i<=maxn;++i){
            if(!check[i]){
                prime[tot++]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=0;j<tot;++j){
                if((ll)i*prime[j]>maxn){
                    break;
                }
                check[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0){
                    mu[i*prime[j]]=0;
                    break;
                }
                else{
                    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                }
            }
        }
    }
}

ll g[N],t[N];
void getG(int n){//g[n]= sum(i/j向上取整)
    for(int j=1;j<=n;++j){//枚舉j
        for(int k=1,ed=n/j+(n%j>0);k<=ed;++k){//枚舉k,向上取整(i/j)=k
            int a=(k-1)*j+1;//a/j=k
            int b=(k*j+1);//b/j=k+1
            a=min(max(a,j),n+1);//當a,b<j時,全部操作到j上,避免往前累加
            b=min(max(b,j),n+1);
            t[a]=(t[a]+k)%inf;
            t[b]=(t[b]-k)%inf;
        }
        t[j]=(t[j]+t[j-1])%inf;
        g[j]=t[j];//g[j]=t[1]+t[2]+..+t[j]
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        g[i]+=g[i-1];
        g[i]%=inf;
    }
}

ll ans[N];

void slove(int n){
    Moblus::Moblus();
    getG(n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=i;j<=n;j+=i){
            ans[j]+=Moblus::mu[i]*(g[j/i]-g[j/i-1])%inf;
            ans[j]%=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans[i]=(ans[i]+ans[i-1])%inf;
    }
}

int main()
{
    //freopen("/home/lu/code/r.txt","r",stdin);
    //freopen("/home/lu/code/w.txt","w",stdout);
    slove(1e6+1);
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        printf("%lld\n",(ans[n]+inf)%inf);
    }
    return 0;
}