動態規劃--連續子序列的最大和

給定k個整數的序列{N1,N2,...,Nk }，其任意連續子序列可表示爲{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大連續子序列是所有連續子序中元素和最大的一個，例如給定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大連續子序列爲{11,-4,13}，最大連續子序列和即爲20。

注：爲方便起見，如果所有整數均爲負數，則最大子序列和爲0。

算法一，窮舉法，找出所有子數組，然後求出子數組的和，在所有子數組的和中取最大值

/*O(n^3)窮舉法
	 * 缺點：重複累加，與maxSum比較，每次i->j中間累加完了才與maxSum比較
	 * */
    public static int MaxSubSequence1(int[] array){
    	
    	  int length=array.length;
    	  int maxSum=0;
    	  int thisSum=0;
    	  for(int i=0;i<length;i++){
    		  for(int j=i;j<length;j++){
    			  thisSum=0;
    			  for(int k=i;k<j;k++){//把i->j之間累加起來
    				  thisSum+=array[k];
    				  if(thisSum>maxSum){
    					  maxSum=thisSum;
    				  }
    			  }
        	  }
    	  }
    	  
    	  return maxSum;    	  
    }

算法二，第一種方法每次i->j之間都要迭代一遍，重複計算了很多，可以利用已經計算的子數組的和

 /*O(n^2)窮舉法
     * i->j之間每累加一次就和maxsum比較
     * */
    public static int MaxSubSequence2(int[] array){
    	
    	int length=array.length;
  	    int maxSum=0;
  	    int thisSum=0;
  	    for(int i=0;i<length;i++){
  		   thisSum=0;
  		  for(int j=i;j<length;j++){
  			 thisSum+=array[j];  
  			  if(thisSum>maxSum){
  				maxSum=thisSum;
  			  }
  		   }
  	     }
  	
  	   return maxSum;
    }

算法三，動態規劃，初始化一個最大值數組MaxSum[n],MaxSum[i]就表示A[0...i]以A[i]結尾的子數組最大和，那麼MaxSum[i]就等於A[0...i-1]的最大和加上A[i]在和A[i]比較求最大值， MaxSum[i] = Max{ MaxSum[i-1] + A[i], A[i]}

  //動態規劃，狀態方程 MaxSum[i] = Max{ MaxSum[i-1] + A[i], A[i]};MaxSum[i]表示已a[i]結尾的最大和
    public static int MaxSubSequence3(int[] array){
     
    	int length=array.length;
    	int[] MaxSum=new int[length];
    	MaxSum[0]=array[0];
  	    for(int i=1;i<length;i++){
  	    	MaxSum[i]=Math.max(MaxSum[i-1]+array[i], array[i]);
  	    }
  	    //找到MaxSum中的最大值
  	    int maxSum=Integer.MIN_VALUE;
  	    for(int i=0;i<MaxSum.length;i++){
  	    	if(MaxSum[i]>maxSum){
  	    		maxSum=MaxSum[i];
  	    	}
  	    }
  	 
  	    return maxSum;
    }

算法三的改進O(n)

 /*
     * 方法三的簡化，當前面的累加和thisSum小於0是就置0，丟棄，大於maxSum時，把值賦給maxSum
     * */
    public static int MaxSubSequence4(int[] array){
    
    	int length=array.length;
  	    int maxSum=0;
  	    int thisSum=0;
  	    for(int i=0;i<length;i++){
  	    	thisSum+=array[i];
  	    	if(thisSum>maxSum){
  	    		maxSum=thisSum;
  	    	}
  	    	else if(thisSum<0){
  	    		thisSum=0;
  	    	}
  	    }  
  	    return maxSum;
    }