K-L變換

假設有如下矩陣：

其中，m和n分別爲波段數（或稱變量數）和每幅圖像中的像元數；矩陣中每一行矢量表示一個波段的圖像。
    對於一般的線性變換Y=TX，如果變換矩陣T是正交矩陣，並且它是由原始圖像數據矩陣X的協方差矩陣S的特徵向量所組成，則此式的變換稱爲K-L變換。
    K-L變換的具體過程如下：
   第一步，根據原始圖像數據矩陣X，求出它的協方差矩陣S。X的協方差矩陣爲：

式中： ；（即爲第i個波段的均值）；
；S是一個實對稱矩陣。
   第二步，求S矩陣的特徵值λ和特徵向量，並且成變換矩陣T。考慮特徵方程：
）
式中，I爲單位矩陣，U爲特徵向量。
    解上述的特徵方程即可求出協方差矩陣S的各個特徵值 ，將其按 排列，求得各特徵值對應的單位特徵向量（經歸一化）Uj：

若以各特徵方量爲列構成矩陣，即

U矩陣滿足：U^TU=UU^T=I（單位矩陣），則U矩陣是正交矩陣。
U矩陣的轉置矩陣即爲所求的K-L變換的變換矩陣T。
有了變換矩陣T，將其代入Y=TX，則：

式中Y矩陣的行向量 爲第j主成分。

經過K-L變換後，得到一組（m個）新的變量（即Y的各個行向量），它們依次被稱爲第一主成分、第二主成分、…第m主成分。這時若將Y矩陣的各行恢復爲二維圖像時，即可以得到m個主成分圖像。

K-L變換是一種線性變換，而且是當取Y的前p（p<m）個主成分經反變換而恢復的圖像 和原圖像X在均方誤差最小意義上的最佳正交變換。它具有以下性質和特點：
   （1）由於K-L變換是正交線性變換，所以變換前後的方差總和不變，變換隻是把原來的方差不等量的再分配到新的主成分圖像中。
   （2）第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在80%以上），其餘各主成分的方差依次減小。
   （3）可以證明，變換後各主成分之間的相關係數爲零，也就是說各主成分間的內容是不同的，是“垂直”的。
   （4）第一主成分相當於原來各波段的加權和，而且每個波段的加權值與該波段的方差大小成正比（方差大說明信息量大）。其餘各主成分相當於不同波段組合的加權差值圖像。
   （5）K-L變換的第一主成分還降低了噪聲，有利於細部特徵的增強和分析，適用於進行高通濾波，線性特徵增強和提取以及密度分割等處理。
   （6）K-L變換是一種數據壓縮和去相關技術，第一成分雖信息量大，但有時對於特定的專題信息，第五、第六主成分也有重要的意義。
   （7）可以在圖像中局部地區或者選取訓練區的統計特徵基礎上作整個圖像的K-L變換，則所選部分圖像的地物類型就會更突出。
   （8）可以將所有波段分組進行K-L變換，再選主成分進行假彩色合成或其它處理。
   （9）K-L變換在幾何意義上相當於進行空間座標的旋轉，第一主成分取波譜空間中數據散佈最大的方向；第二主成分則取與第一主成分正交且數據散佈次大的方向，其餘依此類推。