從模型訓練中認知擬合現象

機器學習中模型訓練是必需的，在模型訓練中存在兩類典型的問題：

欠擬合 (underfitting)

模型無法得到較低的訓練誤差

過擬合 (overfitting)

模型的訓練誤差遠小於它在測試數據集上的誤差

實際訓練過程中可能會出現兩類問題的併發症，而且會有多種因素直接或間接地導致這種情況出現

影響因素

介紹其中兩個因素：模型複雜度和訓練數據集大小。

模型複雜度

以多項式函數擬合爲例。給定一個由標量數據特徵 $x$ 和對應的標量標籤 $y$ 組成的訓練數據集，多項式函數擬合的目標是找一個 $K$ 階多項式函數

$\hat{y} = b + \sum_{k=1}^K x^k w_k$

來近似 $y$ 。

在上式中， $w_k$ 是模型的權重參數， $b$ 是偏差參數。與線性迴歸相同，多項式函數擬合也使用平方損失函數。特別地，一階多項式函數擬合又叫線性函數擬合。

給定訓練數據集，模型複雜度和誤差之間的關係：

訓練數據集大小

一般來說，如果訓練數據集中樣本數過少，特別是比模型參數數量（按元素計）更少時，過擬合更容易發生。

此外，泛化誤差不會隨訓練數據集裏樣本數量增加而增大。因此，在計算資源允許的範圍之內，我們通常希望訓練數據集大一些，特別是在模型複雜度較高時，例如層數較多的深度學習模型。

訓練誤差和泛化誤差

通俗來講，前者指模型在訓練數據集上表現出的誤差，後者指模型在任意一個測試數據樣本上表現出的誤差的期望，並常常通過測試數據集上的誤差來近似。

計算訓練誤差和泛化誤差可以使用之前介紹過的損失函數，例如線性迴歸用到的平方損失函數和softmax迴歸用到的交叉熵損失函數。

機器學習模型應關注降低泛化誤差。

多項式函數擬合實驗

# import package and module
%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l

初始化模型參數

n_train, n_test, true_w, true_b = 100, 100, [1.2, -3.4, 5.6], 5
features = torch.randn((n_train + n_test, 1))
poly_features = torch.cat((features, torch.pow(features, 2), torch.pow(features, 3)), 1) 
labels = (true_w[0] * poly_features[:, 0] + true_w[1] * poly_features[:, 1]
          + true_w[2] * poly_features[:, 2] + true_b)
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)

定義和訓練參數模型

def semilogy(x_vals, y_vals, x_label, y_label, x2_vals=None, y2_vals=None,
             legend=None, figsize=(3.5, 2.5)):
    # d2l.set_figsize(figsize)
    d2l.plt.xlabel(x_label)
    d2l.plt.ylabel(y_label)
    d2l.plt.semilogy(x_vals, y_vals)
    if x2_vals and y2_vals:
        d2l.plt.semilogy(x2_vals, y2_vals, linestyle=':')
        d2l.plt.legend(legend)

num_epochs, loss = 100, torch.nn.MSELoss()

def fit_and_plot(train_features, test_features, train_labels, test_labels):
    # 初始化網絡模型
    net = torch.nn.Linear(train_features.shape[-1], 1)
    # 通過Linear文檔可知，pytorch已經將參數初始化了，所以我們這裏就不手動初始化了
    
    # 設置批量大小
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])    
     # 設置數據集
    dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
    # 設置獲取數據方式     
    train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True) 
    # 設置優化函數，使用的是隨機梯度下降優化
    optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)                      
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
    	# 取一個批量的數據
        for X, y in train_iter:               
        	# 輸入到網絡中計算輸出，並和標籤比較求得損失函數                                  
            l = loss(net(X), y.view(-1, 1)) 
            # 梯度清零，防止梯度累加干擾優化                                   
            optimizer.zero_grad()                                               
            l.backward() # 求梯度
            optimizer.step() # 迭代優化函數，進行參數優化
        train_labels = train_labels.view(-1, 1)
        test_labels = test_labels.view(-1, 1)
        # 將訓練損失保存到train_ls中
        train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).item())
        # 將測試損失保存到test_ls中         
        test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).item())            
    print('final epoch: train loss', train_ls[-1], 'test loss', test_ls[-1])    
    semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
             range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('weight:', net.weight.data,
          '\nbias:', net.bias.data)

對比三種擬合現象

正常

fit_and_plot(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :], labels[:n_train], labels[n_train:])

欠擬合

fit_and_plot(features[:n_train, :], features[n_train:, :], labels[:n_train], labels[n_train:])

過擬合

fit_and_plot(poly_features[0:2, :], poly_features[n_train:, :], labels[0:2], labels[n_train:])

針對兩類擬合問題的解決辦法

權重衰減–過擬合

方法

權重衰減等價於 $L_2$ 範數正則化（regularization）。正則化通過爲模型損失函數添加懲罰項使學出的模型參數值較小，是應對過擬合的常用手段。

L2 範數正則化（regularization）

$L_2$ 範數正則化在模型原損失函數基礎上添加 $L_2$ 範數懲罰項，從而得到訓練所需要最小化的函數。 $L_2$ 範數懲罰項指的是模型權重參數每個元素的平方和與一個正的常數的乘積。以線性迴歸中的線性迴歸損失函數爲例

$\ell(w_1, w_2, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right)^2$

其中 $w_1, w_2$ 是權重參數， $b$ 是偏差參數，樣本 $i$ 的輸入爲 $x_1^{(i)}, x_2^{(i)}$ ，標籤爲 $y^{(i)}$ ，樣本數爲 $n$ 。將權重參數用向量 $\boldsymbol{w} = [w_1, w_2]$ 表示，帶有 $L_2$ 範數懲罰項的新損失函數爲

$\ell(w_1, w_2, b) + \frac{\lambda}{2n} |\boldsymbol{w}|^2,$

其中超參數 $\lambda > 0$ 。當權重參數均爲0時，懲罰項最小。當 $\lambda$ 較大時，懲罰項在損失函數中的比重較大，這通常會使學到的權重參數的元素較接近0。當 $\lambda$ 設爲0時，懲罰項完全不起作用。上式中 $L_2$ 範數平方 $|\boldsymbol{w}|^2$ 展開後得到 $w_1^2 + w_2^2$ 。

有了 $L_2$ 範數懲罰項後，在小批量隨機梯度下降中，我們將 Design and Realization of Linear Regression 中權重 $w_1$ 和 $w_2$ 的迭代方式更改爲

$\begin{aligned} w_1 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_1 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_1^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right),\\ w_2 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_2 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_2^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}$

可見， $L_2$ 範數正則化令權重 $w_1$ 和 $w_2$ 先自乘小於1的數，再減去不含懲罰項的梯度。

因此，$L_2$範數正則化又叫權重衰減。權重衰減通過懲罰絕對值較大的模型參數爲需要學習的模型增加了限制，這可能對過擬合有效。

應用【劍指高維線性迴歸帶來的過擬合】

設數據樣本特徵的維度爲 $p$ 。對於訓練數據集和測試數據集中特徵爲 $x_1, x_2, \ldots, x_p$ 的任一樣本，使用如下的線性函數來生成該樣本的標籤：

$y = 0.05 + \sum_{i = 1}^p 0.01x_i + \epsilon$

其中噪聲項 $\epsilon$ 服從均值爲0、標準差爲0.01的正態分佈。爲了較容易地觀察過擬合，我們考慮高維線性迴歸問題，如設維度 $p=200$ ；同時，我們特意把訓練數據集的樣本數設低，如20。

%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l

初始化模型參數

n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = torch.ones(num_inputs, 1) * 0.01, 0.05

features = torch.randn((n_train + n_test, num_inputs))
labels = torch.matmul(features, true_w) + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]
# 定義參數初始化函數，初始化模型參數並且附上梯度
def init_params():
    w = torch.randn((num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定義L2範數懲罰項

def l2_penalty(w):
    return (w**2).sum() / 2

訓練和測試

batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss

dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)

def fit_and_plot(lambd):
    w, b = init_params()
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 添加了L2範數懲罰項
            l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l = l.sum()
            
            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
            l.backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features, w, b), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features, w, b), test_labels).mean().item())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', w.norm().item())

對比過擬合與權重衰減處理

過擬合

fit_and_plot(lambd=0)

權重衰減處理

fit_and_plot(lambd=3)

權重衰減的簡化

def fit_and_plot_pytorch(wd):
    # 對權重參數衰減。權重名稱一般是以weight結尾
    net = nn.Linear(num_inputs, 1)
    nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
    nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
    optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 對權重參數衰減
    optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr)  # 不對偏差參數衰減
    
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y).mean()
            optimizer_w.zero_grad()
            optimizer_b.zero_grad()
            
            l.backward()
            
            # 對兩個optimizer實例分別調用step函數，從而分別更新權重和偏差
            optimizer_w.step()
            optimizer_b.step()
        train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())

訓練結果與手動實現基本一致

丟棄法–過擬合

只能用於模型訓練

Multilayer Perceptron & Classify image 中神經網絡圖描述了一個單隱藏層的多層感知機。其中輸入個數爲4，隱藏單元個數爲5，且隱藏單元 $h_i$ （ $i=1, \ldots, 5$ ）的計算表達式爲

$h_i = \phi\left(x_1 w_{1i} + x_2 w_{2i} + x_3 w_{3i} + x_4 w_{4i} + b_i\right)$

這裏 $\phi$ 是激活函數， $x_1, \ldots, x_4$ 是輸入，隱藏單元 $i$ 的權重參數爲 $w_{1i}, \ldots, w_{4i}$ ，偏差參數爲 $b_i$ 。

當對該隱藏層使用丟棄法時，該層的隱藏單元將有一定概率被丟棄掉。設丟棄概率爲 $p$ ，那麼有 $p$ 的概率 $h_i$ 會被清零，有 $1-p$ 的概率 $h_i$ 會除以 $1-p$ 做拉伸。

丟棄概率是丟棄法的超參數。具體來說，設隨機變量 $\xi_i$ 爲0和1的概率分別爲 $p$ 和 $1-p$ 。使用丟棄法時我們計算新的隱藏單元 $h_i'$

$h_i' = \frac{\xi_i}{1-p} h_i$

由於 $E(\xi_i) = 1-p$ ，因此

$E(h_i') = \frac{E(\xi_i)}{1-p}h_i = h_i$

即丟棄法不改變其輸入的期望值。

對之前多層感知機的神經網絡中的隱藏層使用丟棄法，一種可能的結果如圖所示，其中 $h_2$ 和 $h_5$ 被清零。這時輸出值的計算不再依賴 $h_2$ 和 $h_5$ ，在反向傳播時，與這兩個隱藏單元相關的權重的梯度均爲0。由於在訓練中隱藏層神經元的丟棄是隨機的，即 $h_1, \ldots, h_5$ 都有可能被清零，輸出層的計算無法過度依賴 $h_1, \ldots, h_5$ 中的任一個。

%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l

丟棄函數

‘’‘
:param:drop_prob:丟失率
:param:keep_prob:保存率
’‘’
def dropout(X, drop_prob):
    X = X.float()
    assert 0 <= drop_prob <= 1
    keep_prob = 1 - drop_prob
    # 這種情況下把全部元素都丟棄 keep_prob 是保存率
    if keep_prob == 0:
        return torch.zeros_like(X)
    mask = (torch.rand(X.shape) < keep_prob).float()
    
    return mask * X / keep_prob

初始化參數

# 參數的初始化
num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_hiddens1)), dtype=torch.float, requires_grad=True)
b1 = torch.zeros(num_hiddens1, requires_grad=True)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(num_hiddens1, num_hiddens2)), dtype=torch.float, requires_grad=True)
b2 = torch.zeros(num_hiddens2, requires_grad=True)
W3 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(num_hiddens2, num_outputs)), dtype=torch.float, requires_grad=True)
b3 = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

params = [W1, b1, W2, b2, W3, b3]

添加丟棄層

drop_prob1, drop_prob2 = 0.2, 0.5

def net(X, is_training=True):
    X = X.view(-1, num_inputs)
    H1 = (torch.matmul(X, W1) + b1).relu()
    if is_training:  # 只在訓練模型時使用丟棄法
        H1 = dropout(H1, drop_prob1)  # 在第一層全連接後添加丟棄層
    H2 = (torch.matmul(H1, W2) + b2).relu()
    if is_training:
        H2 = dropout(H2, drop_prob2)  # 在第二層全連接後添加丟棄層
    return torch.matmul(H2, W3) + b3

模型評估

def evaluate_accuracy(data_iter, net):
    acc_sum, n = 0.0, 0
    for X, y in data_iter:
        if isinstance(net, torch.nn.Module):
            net.eval()  # 評估模式, 這會關閉dropout
            acc_sum += (net(X).argmax(dim=1) == y).float().sum().item()
            net.train()  # 改回訓練模式
        else:  # 自定義的模型
            if('is_training' in net.__code__.co_varnames):  # 如果有is_training這個參數
                # 將is_training設置成False
                acc_sum += (net(X, is_training=False).argmax(dim=1)
                            == y).float().sum().item()
            else:
                acc_sum += (net(X).argmax(dim=1) == y).float().sum().item()
        n += y.shape[0]
    return acc_sum / n

模型訓練

num_epochs, lr, batch_size = 5, 100.0, 256  # 這裏的學習率設置的很大，原因與之前相同。
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(
    batch_size, root='path to FashionMNIST2065')
d2l.train_ch3(
    net,
    train_iter,
    test_iter,
    loss,
    num_epochs,
    batch_size,
    params,
    lr)

丟棄法的簡化

net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1),
        nn.ReLU(),
        nn.Dropout(drop_prob1),
        nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2), 
        nn.ReLU(),
        nn.Dropout(drop_prob2),
        nn.Linear(num_hiddens2, 10)
        )

for param in net.parameters():
    nn.init.normal_(param, mean=0, std=0.01)

綜上

對於訓練誤差較低但是泛化誤差依然較高，二者相差較大的過擬合

權重衰減
丟棄法
更加全面的方案【https://www.cnblogs.com/XDU-Lakers/p/10536101.html】

對於模型無法達到一個較低的誤差的欠擬合

增加新特徵，可以考慮加入進特徵組合、高次特徵，來增大假設空間
添加多項式特徵，這個在機器學習算法裏面用的很普遍，例如將線性模型通過添加二次項或者三次項使模型泛化能力更強
減少正則化參數，正則化的目的是用來防止過擬合的，但是模型出現了欠擬合，則需要減少正則化參數
使用非線性模型，比如核SVM 、決策樹、深度學習等模型
調整模型的容量(capacity)，通俗地，模型的容量是指其擬合各種函數的能力
容量低的模型可能很難擬合訓練集；使用集成學習方法，如Bagging ,將多個弱學習器Bagging

RokoのBasilisk

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私信關注

從模型訓練中認知擬合現象

影響因素

模型複雜度

訓練數據集大小

多項式函數擬合實驗

初始化模型參數

定義和訓練參數模型

對比三種擬合現象

針對兩類擬合問題的解決辦法

權重衰減–過擬合

方法

L2 範數正則化（regularization）

應用【劍指高維線性迴歸帶來的過擬合】

初始化模型參數

定義L2範數懲罰項

訓練和測試

對比過擬合與權重衰減處理

權重衰減的簡化

丟棄法–過擬合

丟棄函數

初始化參數

添加丟棄層

模型評估

模型訓練

丟棄法的簡化

注意力 && Seq2seq模型

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