[leetcode] 494. Target Sum

Question:

You are given a list of non-negative integers, a1, a2, …, an, and a target, S. Now you have 2 symbols + and -. For each integer, you should choose one from + and - as its new symbol.

Find out how many ways to assign symbols to make sum of integers equal to target S.

Example 1:

Input: nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3. 
Output: 5
Explanation: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.

Note:

The length of the given array is positive and will not exceed 20.
The sum of elements in the given array will not exceed 1000.
Your output answer is guaranteed to be fitted in a 32-bit integer.

Solution:

這道題很有意思，想了很久想不出來，去看了評論區的答案，居然有人能想到如此巧妙的思路，如下：

原題是要從一個集合裏，把所有的數進行加或減的運算得到目標數S，於是就將原題改爲把原集合分成兩個集合P和N，使得集合P的和減去另集合N的和，得到目標數S，求這樣分成兩個集合的分法。

於是就有了如下推導

                  sum(P) - sum(N) = target
sum(P) + sum(N) + sum(P) - sum(N) = target + sum(P) + sum(N)
                       2 * sum(P) = target + sum(nums)

這樣，原問題就變爲了，是否能在原集合中找到一個集合P，使得集合P的和等於目標數S加集合所有數的和的一半。這就轉化爲 subset sum 問題。

對於本題，動態規劃的狀態轉移方程可表示爲：

用 f(i, j) 表示用集合的前 i 個數 (x1,...,xi) 的和得到目標 j 的種數
初始化時:
f(0, 0) = 1, f(0, j) = 0 （j = 1,...,S）
對於i > 0:
f(i, j) = f(i-1, j) + f(i-1, j-xi)

可以看到，f(i, j) 的值只和 i-1 層的值有關，因此存儲數組可以只用一維，而 f(i-1, j-xi) 需要用到 i-1 層的第 j 個數的前面的數，因此用一維數組存儲的時候，遍歷 j 的時候要從後遍歷，保證 f(j-xi) 的值是 i-1 層的值。

此外，注意到 S + sum(nums) 必須是偶數，在一開始時也可以先判斷。

這樣就得到了時間複雜度爲O(NS)，空間複雜度爲O(S)的動態規劃方法。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (S > sum || S < -sum || (sum + S) & 1)
            return 0;
        S = (S + sum) >> 1;

        int dp[S + 1] = {0};
        dp[0] = 1;
        for (int i : nums)
            for (int j = S; j >= i; j--)
                dp[j] += dp[j-i];
        return dp[S];
    }
};