齊次線性方程組的解、SVD、最小二乘法

轉載出處：http://blog.csdn.net/ccwwff/article/details/45912671

AX=0
這是一個齊次線性方程組（一般的非齊次線性方程組AX=b其實也都可以化爲齊次方程組的形式，所以比較普遍）

先要說明在非齊次方程組中，A到底有沒有解析解，可以由增廣矩陣來判斷：

r(A)<r(A | b) 方程組無解；
r(A)=r(A | b) =n，方程組有唯一解；
r(A)=r(A | b) <n，方程組無窮解；
r(A)>r(A | b) 不可能，因爲增廣矩陣的秩大於等於係數矩陣的秩（在矩陣中加入一列，其秩只可能增大，不可能變小）。

而在齊次方程中(r(A | b) =r(A | 0)=r(A) )，根據A來分，只剩下了兩種情況：

1.r(A)=未知數個數n（約束較強）
1.1.A是方陣
由克萊姆法則可知：
如果A是n*n的方陣而且r（A）=n，那麼該方程組有唯一的零解。
1.2.A不是方陣，A是m×n的(m>n)
由另一個定理：齊次線性方程解空間維數 = n - r(A) 可知，該解空間維數爲0, 也就是說該解空間只含有零向量。

2.r(A)<未知數個數n（約束不夠）
這裏A是不是方陣已經無所謂了，也沒有什麼法則可以用，就只分成一種情況。
由齊次線性方程組解空間維數 = n - r(A) >0，所以該齊次線性方程組有非零解，而且不唯一（自由度爲 n - r(A))。

(多謝wereineky指出錯誤)
在我們做一些實際問題的時候，經常在 1.2(當然嚴格來說1.1也有可能啦)會卡住，這時實際上是沒有真正的非零解析解的，因爲約束太多了，沒法都滿足(零向量除外)。但是可以折中一下，每一個方程都滿足個大概，這就要求最小二乘解。求取最小二乘解的方法一般使用SVD，即奇異值分解。

解空間維數與r(A)的關係的感性認識：
r(A)可以理解爲一種約束條件的強弱的表現（約束的強弱不只是表面上的方程個數）。比如有一個方程組，每個方程都是一樣的，那麼其秩爲1,方程的個數對約束毫無貢獻。
繼續看A的秩，也就是約束的個數是怎麼影響解空間的維數的。
比如
x1 +   x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
r(A)=2，消去x1之後得到:
x2 + 2x3 = 0
x2或者x3一旦確定，其餘的未知量就都隨之確定了，所以自由度爲1,所以解空間維數爲1。
即：
如果 r(A)=c，那麼c個方程一共最多可以消去c-1個未知數（比如滿秩方陣，最後只留一個未知數，得到唯一解），於是得到的方程由n-(c-1)個未知數組成，該方程有 n-c個自由度，也就是說解空間的維數爲 n-c。
上述過程在高斯消去法中表現：
假設消去過後的A如下：
x     x      x      x      x
0     x      x      x      x
0     0    x      x      x
0     0      0      x      x
0     0      0      0      0
那麼最後一個非全0行的x個數爲 num = n-r(A)+1，則可以看到，該行的自由度，決定了所有解的自由度（因爲一旦改行確定，其他都確定了,自由區其實可以理解爲用將多少變量固定，就能夠確定整個矩陣），而該行的自由度=num-1=n-r(A)=齊次線性方程組解空間的維數，Bingo!

SVD與最小二乘解：
SVD：奇異值分解，是在A不爲方陣時的對特徵值分解的一種拓展。奇異值和特徵值的重要意義相似，都是爲了提取出矩陣的主要特徵。
對於齊次線性方程 A*X =0;當A的秩大於列數時，就需要求解最小二乘解，在||X||=1的約束下，其最小二乘解爲矩陣A'A最小特徵值所對應的特徵向量。

假設x爲A'A的特徵向量的情況下，爲什麼是最小的特徵值對應的x能夠是目標函數最小證明(多謝hukexin0000指出錯誤，這個約束太強，只能提供一點點感性認識，具體的證明請查閱相關教科書)：
齊次線性方程組的最小二乘問題可以寫成如下：
min ||Ax||
s.t    ||x||=1
目標函數：||Ax|| = x'A'Ax = x'lamda x=lamda||x||=lamda,其中lamda是A'A的特徵值。
於是可知，得到了A'A的最小特徵值，就得到了最優值，而其最小特徵值對應的特徵向量就是最優解.
而對M進行SVD分解(*表示共軛轉置)：

$M^{*} M = V \Sigma^{*} U^{*}\, U \Sigma V^{*} =V (\Sigma^{*} \Sigma) V^{*}\,$

$M M^{*} = U \Sigma V^{*} \, V \Sigma^{*} U^{*} =U (\Sigma \Sigma^{*}) U^{*}\,$
可見M*M的特徵向量就是V的列向量。

求解：
求解方法有兩種（matlab）：
1.

[V D] =eig(A'*A);D爲A'*A的特徵值對角矩陣，V爲對應的特徵向量。找到最小特徵值對應的V中的特徵向量即爲最小二乘解。
2.
使用SVD分解矩陣A，[U S V] = svd(A); U 由 A*A'的特徵向量組成，V 由 A'*A的特徵向量組成，因此，奇異值矩陣S中最小的奇異值對應的V中的奇異向量即爲最小二乘解。
對於超定方程（非齊次線性方程的一種）的最小二乘解的情況。A*X =b ; 當A的行數大於列數時，方程組無解，就需要求解最小二乘解。在matlab中使用一個左除命令就可以得到最小二乘意義下的解。這個解沒有模製的限制，就是實際的解。matlab：A\b

兩種方法其實是一個意思。

推薦資料：
這篇資料還是很不錯的，講述了SVD與PCA的關係，其中的推薦資料也很不錯。