複數-共軛-埃爾米特矩陣（Hermite矩陣）-正定矩陣

複數爲實數的推廣，它使任一多項式都有根。複數當中有個 “虛數單位”i，它是 - 1的平方根，即i² = - 1。任一複數都可表達爲x + iy，其中x及y皆爲實數，分別稱爲複數之“實部”和“虛部”。

複數的和及積的算法是:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib) * (c + id) = ac - bd + i(bc + ad)

複數包括實數和虛數，而實數包括有理數和無理數。 有理數包括正數和負數。

 

共軛複數：實數部分相同而虛數部分互爲相反數的兩個複數。

矩陣的共軛轉置：把矩陣轉置後，再把每一個數換成它的共軛複數。

埃爾米特矩陣是共軛對稱的方陣。埃爾米特矩陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等。

正定矩陣：一個n × n的實對稱矩陣 M 是正定的當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有 z^TMz > 0。其中z^T 表示z的轉置。

對於複數的情況，定義則爲：一個n × n的埃爾米特矩陣 M 是正定的當且僅當對於每個非零的復向量z，都有z^*Mz > 0。其中z^*z的共軛轉置。由於 M 是埃爾米特矩陣，經計算可知，對於任意的復向量z，z^*Mz必然是實數，從而可以與0比較大小。因此這個定義是自洽的。