二叉樹學習筆記

1、樹（Tree）

每個元素我們叫作“節點”；用來連線相鄰節點之間的關係，叫作“父子關係” 。

• A 節點就是 B 節點的父節點，B 節點是 A 節點的子節點。

• B、C、D 這三個節點的父節點是同一個節點，互稱爲兄弟節點。

• 沒有父節點的節點叫作根節點（E）;

• 沒有子節點的節點叫作葉子節點或者葉節點(G…L)

2、二叉樹

二叉樹，顧名思義，每個節點最多有兩個“叉”，也就是兩個子節點，分別是左子節點和右子節點 。

• 除了葉子節點之外，每個節點都有左右兩個子節點，這種二叉樹就叫作滿二叉樹。
• 最後一層的葉子節點都靠左排列，其他層都是滿二叉樹，這種二叉樹叫作完全二叉樹。

2.1 存儲二叉樹

2.1.1 基於引用的二叉鏈式存儲法

每個節點有三個字段，其中一個存儲數據，另外兩個是指向左右子節點的指針 。

2.1.2 基於數組的順序存儲法

如果節點 X 存儲在數組中下標爲 i 的位置，下標爲 2 * i 的位置存儲的就是左子節點，下標爲 2 * i + 1 的位置存儲的就是右子節點 ，同理 下標爲 i/2 。

非完全二叉樹：

## 2.2 二叉樹的遍歷

• 前序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先打印這個節點，然後再打印它的左子樹，最後打印它的右子樹。

• 中序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先打印它的左子樹，然後再打印它本身，最後打印它的右子樹。

• 後序遍歷：對於樹中的任意節點來說，先打印它的左子樹，然後再打印它的右子樹，最後打印這個節點本身。

• 二叉樹遍歷的時間複雜度是 O(n)。

//前序遍歷
void preOrder(Node root) {
        if (root == null) return;
        System.out.println(root.data);  // 打印 root 節點
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
//中序遍歷
    void inOrder(Node root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root.data);  // 打印 root 節點
        inOrder(root.right);
    }
//後序遍歷
    void postOrder(Node root) {
        if (root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.println(root.data); // 打印 root 節點
    }
    class Node {
        public String data;  //節點數據
        public Node left;  //左孩子
        public Node right;  //右孩子
         public Node(String data) {
                this.data = data;
            }
    }

2.3 二叉查找樹

二叉查找樹要求，在樹中的任意一個節點，其左子樹中的每個節點的值，都要小於這個節點的值，而右子樹節點的值都大於這個節點的值 。

2.3.1 查找操作

先取根節點，如果它等於我們要查找的數據，那就返回。如果要查找的數據比根節點的值小，那就在左子樹中遞歸查找；如果要查找的數據比根節點的值大，那就在右子樹中遞歸查找 。

   public Node find(Node node,int data) {
        Node p = node;
        while (p != null) {
            if (data < p.data) p = p.left;
            else if (data > p.data) p = p.right;
            else return p;
        }
        return null;
    }

2.3.2 插入操作

如果要插入的數據比節點的數據大，並且節點的右子樹爲空，就將新數據直接插到右子節點的位置；如果不爲空，就再遞歸遍歷右子樹，查找插入位置。

public void insert(int data) {
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }
 
  Node p = tree;
  while (p != null) {
    if (data > p.data) {
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

2.3.3 刪除操作

• 第一種情況是，如果要刪除的節點沒有子節點；

• 第二種情況是，如果要刪除的節點只有一個子節點（只有左子節點或者右子節點）；

• 第三種情況是，如果要刪除的節點有兩個子節點。

public void delete(int data) {
  Node p = tree; // p 指向要刪除的節點，初始化指向根節點
  Node pp = null; // pp 記錄的是 p 的父節點
  while (p != null && p.data != data) {
    pp = p;
    if (data > p.data) p = p.right;
    else p = p.left;
  }
  if (p == null) return; // 沒有找到
 
  // 要刪除的節點有兩個子節點
  if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子樹中最小節點
    Node minP = p.right;
    Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父節點
    while (minP.left != null) {
      minPP = minP;
      minP = minP.left;
    }
    p.data = minP.data; // 將 minP 的數據替換到 p 中
    p = minP; // 下面就變成了刪除 minP 了
    pp = minPP;
  }
 
  // 刪除節點是葉子節點或者僅有一個子節點
  Node child; // p 的子節點
  if (p.left != null) child = p.left;
  else if (p.right != null) child = p.right;
  else child = null;
 
  if (pp == null) tree = child; // 刪除的是根節點
  else if (pp.left == p) pp.left = child;
  else pp.right = child;
}

3、紅黑樹

• 根節點是黑色的；
• 每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL），也就是說，葉子節點不存儲數據；
• 任何相鄰的節點都不能同時爲紅色，也就是說，紅色節點是被黑色節點隔開的；
• 每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點；

具體實現參考紅黑樹

4、遞歸樹

遞歸的思想就是，將大問題分解爲小問題來求解，然後再將小問題分解爲小小問題。這樣一層一層地分解，直到問題的數據規模被分解得足夠小，不用繼續遞歸分解爲止。

如果我們把這個一層一層的分解過程畫成圖，它其實就是一棵樹。我們給這棵樹起一個名字，叫作遞歸樹。