rmq(區間最值)

原創

2020-02-22 17:07

RMQ是英文Range Maximum(Minimum) Query的縮寫，即區間最值。
其預處理爲O(nlogn) ,查詢爲Ｏ(１), 不支持修改。
RMQ的原理實際上是動態規劃，我們用A[1..N]表示一組數，用[Li,Ri]表示題目中所涉及到詢問區間。設F[i,j]表示從a[i]到a[i+2^j-1]這個範圍內的最大值，也就是以a[i]爲起點連續個數的最大值，由於元素個數爲2^j個，所以從中間平均分成兩部分，每一部分的元素個數剛好爲2^(j-1)個，如下圖：

整個區間的最大值一定是從左右兩個部分的較大值，所以F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]),
初始轉態爲F[1,0]=a[i]
當查詢[li,ri]的最值，那麼求出最大的x ，使得2^x<=ri-li+1,那麼區間[li,ri]=[li,li+2^x-1]並上[ri-2^x+1,ri]，

ps：rmq只能區間最值，也能區間gcd，因爲這些都滿足可以區間結果並，但是不能求和。
ps：線段樹查詢O(logn) ，所以當最值查詢頻繁（次數大於n時）rmq可能會有更高的效率，當然rmq不支持修改有很大的侷限性

poj3264 裸題

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,a[50005];
int mx[50005][20];
int mi[50005][20];
void rmq()//預處理O（nlogn） 
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
        mx[i][0]=a[i],mi[i][0]=a[i];//初始狀態 
    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)//兩層for不能反，自己思考一下 
        for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++)
        {
            mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
int query(int l,int r)//查詢 O（1）
{
    int k=trunc(log2(r-l+1));//即取整，去尾 
//  trunc(number,num_digits)
//  Number 需要截尾取整的數字。
//  Num_digits 用於指定取整精度的數字。Num_digits 的默認值爲 0。
    return (max(mx[l][k],mx[r-(1<<k)+1][k])-min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]));
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
    rmq();
    int l,r;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",query(l,r));
    }
}